Polinomio di Taylor
Salve a tutti 
Vorrei riuscire a capire dove sbaglio nella risoluzione di questo esercizio ^_^
Calcolare il polinomio di Taylor di grado 3 e centro 0 di
$tan ((e^x - e^(-x))/2)
Scrivo gli sviluppi delle 2 funzioni:
$ e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) $ oltre non mi serve dato che la tangente inizia con "x" e come secondo termine x^3" quindi avrei comunque grado =3
$ tan x = x + (x^3)/3 $
ovviamente ci sono gli 'o piccoli'
inizio a fare qualche semplificazione:
$tan((1+x+(x^2)/(2!) - (1 - x + ((-x)^2)/(2!)))/2) $
quindi facendo tutte le semplificazioni nella parentesi mi risulta:
$ tan ((2x)/2) = tan x$
che secondo lo sviluppo viene $ x + (x^3)/3
il risultato (secondo derive e secondo il testo) è $ x + (x^3)/2.$ Dove ho sbagliato?
Da notare che se faccio i passaggi "separatamente" (ovvero sviluppo la parentesi con gli "e" da sola) riscontro il "mio" risultato (la parentesi risulta "x" e poi lo sviluppo della tangente è tale e quale). Quindi c'è qualche semplificazione nella parentesi che non posso fare (forse perche fuori c'è la tangente) ma che ho fatto sbagliando. Ma dove?
Grazie a chi si è letto questo sproloquio
Vorrei riuscire a capire dove sbaglio nella risoluzione di questo esercizio ^_^
Calcolare il polinomio di Taylor di grado 3 e centro 0 di
$tan ((e^x - e^(-x))/2)
Scrivo gli sviluppi delle 2 funzioni:
$ e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) $ oltre non mi serve dato che la tangente inizia con "x" e come secondo termine x^3" quindi avrei comunque grado =3
$ tan x = x + (x^3)/3 $
ovviamente ci sono gli 'o piccoli'
inizio a fare qualche semplificazione:
$tan((1+x+(x^2)/(2!) - (1 - x + ((-x)^2)/(2!)))/2) $
quindi facendo tutte le semplificazioni nella parentesi mi risulta:
$ tan ((2x)/2) = tan x$
che secondo lo sviluppo viene $ x + (x^3)/3
il risultato (secondo derive e secondo il testo) è $ x + (x^3)/2.$ Dove ho sbagliato?
Da notare che se faccio i passaggi "separatamente" (ovvero sviluppo la parentesi con gli "e" da sola) riscontro il "mio" risultato (la parentesi risulta "x" e poi lo sviluppo della tangente è tale e quale). Quindi c'è qualche semplificazione nella parentesi che non posso fare (forse perche fuori c'è la tangente) ma che ho fatto sbagliando. Ma dove?
Grazie a chi si è letto questo sproloquio
Risposte
tieni in conto un altro termine degli sviluppi di $e^x$ ed $e^(-x)$
Bene. Grazie al tuo consiglio ho risolto. Pensavo invece di non poter fare qualche semplificazione nella parentesi
Ora viene:
$tan (x+(x^3)/6)$
considerando il polinomio nella parentesi come "unica" x
$(x+(x^3)/6) + ((x^3)/3...) $ ( il resto viene escluso perché ha grado > 3)
quindi alla fine risulta $x + (x^3)/2$
Anche se sicuramente saprete tutti risolverlo, l'ho scritto lo stesso, casomai tornasse utile a qualcuno...
Grazie!
Ora viene:
$tan (x+(x^3)/6)$
considerando il polinomio nella parentesi come "unica" x
$(x+(x^3)/6) + ((x^3)/3...) $ ( il resto viene escluso perché ha grado > 3)
quindi alla fine risulta $x + (x^3)/2$
Anche se sicuramente saprete tutti risolverlo, l'ho scritto lo stesso, casomai tornasse utile a qualcuno...
Grazie!
potete farmi un esempio accurato sviluppando in serie di taylor di centro $x=2$ il polinomio $x^(3)-4x^(2)+4x+1$
up.....
In generale lo sviluppo di Taylor di una funzione $f(x) $ di centro $x_0$ è dato da :
$f(x) = f(x_0)+(x-x_0)*f' (x_0)+(x-x_0)^2*(f'' (x_0))/(2!)+(x-x_0)^3*(f''' (x_0))/(3!) +...$
Nel caso del polinomio di terzo grado chiaramente l'ultimo termine è quello in $( x-x_0)^3$.
E' dunque $x_0 = 2 $.
Calcola $f(2) = 1 $; $f'(x) = 3x^2-8x+4 $ che valutato in $ x=2 $ dà : $ f'(2) = 0 $.
Calcola poi $ f''(x) = 6x-8$ che per $x = 2 $ vale : $ f''(2 ) = 4 $ e infine $f'''(x) = 6$.
Lo sviluppo di Taylor è allora :
$1+0*(x-2)+4*(x-2)^2/2 +6*(x-2)^3/6 $ che è proprio il polinomio originale.
$f(x) = f(x_0)+(x-x_0)*f' (x_0)+(x-x_0)^2*(f'' (x_0))/(2!)+(x-x_0)^3*(f''' (x_0))/(3!) +...$
Nel caso del polinomio di terzo grado chiaramente l'ultimo termine è quello in $( x-x_0)^3$.
E' dunque $x_0 = 2 $.
Calcola $f(2) = 1 $; $f'(x) = 3x^2-8x+4 $ che valutato in $ x=2 $ dà : $ f'(2) = 0 $.
Calcola poi $ f''(x) = 6x-8$ che per $x = 2 $ vale : $ f''(2 ) = 4 $ e infine $f'''(x) = 6$.
Lo sviluppo di Taylor è allora :
$1+0*(x-2)+4*(x-2)^2/2 +6*(x-2)^3/6 $ che è proprio il polinomio originale.
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