Polinomio di Taylor
Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto.
Il problema è il seguenta
Trova il polinomio di Taylor di quarto grado della funzione $f(x)=cos(x^2)$ nel punto x0=0
La risposta esatta è $1-(x^4/2)$
sono al corrente della formula del polinomio di taylor ma ciò implicherebbe arrivare a calcolare la derivata quarta della funzione che mi sta creando un sacco di grattacapi e inducendo a parecchi errori.
Non c'è un modo più semplice per arrivarci?
Nel caso mi potreste aiutare con la risoluzione,
Ringrazio anticipatamente
Andrea
Il problema è il seguenta
Trova il polinomio di Taylor di quarto grado della funzione $f(x)=cos(x^2)$ nel punto x0=0
La risposta esatta è $1-(x^4/2)$
sono al corrente della formula del polinomio di taylor ma ciò implicherebbe arrivare a calcolare la derivata quarta della funzione che mi sta creando un sacco di grattacapi e inducendo a parecchi errori.
Non c'è un modo più semplice per arrivarci?
Nel caso mi potreste aiutare con la risoluzione,
Ringrazio anticipatamente
Andrea
Risposte
Ciao LAAN77,
Scusa, ma... Non lo conosci lo sviluppo in serie di $ cos(x) $? Basta che poni $x^2 $ al posto di $x $ ed il gioco è fatto...
Scusa, ma... Non lo conosci lo sviluppo in serie di $ cos(x) $? Basta che poni $x^2 $ al posto di $x $ ed il gioco è fatto...
Calcola gli sviluppi al quarto grado di $cos(t)=1-t^2/2$ e poi sostituisci $t=x^2$
"pilloeffe":
Ciao LAAN77,
Scusa, ma... Non lo conosci lo sviluppo in serie di $ cos(x) $? Basta che poni $x^2 $ al posto di $x $ ed il gioco è fatto...
Ciao no nbon lo conosco lo sviluppo in serie di cosx...mi puoi delucidare per favore. Ho iniziato l'università dopo aver abbandonato gli studi 10 anni fa quindi purtroppo sono molto arruginito in analisi.
Cosa intendi per sviluppo in serie? Me lo scriveresti?
Avrei proprio bisogno di un aiuto passaggio per passaggio in modo da semplificarmi la vita e capire come risolvere l'esercizio.
$cos(x)=1-x^2/2+x^4/24-x^6/(6!)+x^8/(8!)+..., $
$x->0$
$x->0$
"Bokonon":
Calcola gli sviluppi al quarto grado di $cos(t)=1-t^2/2$ e poi sostituisci $t=x^2$
Non capisco scusami ma mi sono rimesso sui libri dopo parecchi anni. Puoi aiutarmi con la risoluzione?
La serie di Taylor altro non è che un metodo per approssimare una funzione nell'intorno di un punto di interesse.
La serie è una somma infinita di polinomi, quindi qualsiasi funzione si può approssimare (punto per punto) con una somma di polinomi (i mattoni dell'algebra insomma).
A seconda delle necessità, la somma infinita si può troncare per ottenere il livello di approssimazione con il livello di errore desiderato.
Per la formula di Taylor e la sua dimostrazione ti rimando al libro di testo.
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor
La serie è una somma infinita di polinomi, quindi qualsiasi funzione si può approssimare (punto per punto) con una somma di polinomi (i mattoni dell'algebra insomma).
A seconda delle necessità, la somma infinita si può troncare per ottenere il livello di approssimazione con il livello di errore desiderato.
Per la formula di Taylor e la sua dimostrazione ti rimando al libro di testo.
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor
"Bokonon":
La serie di Taylor altro non è che un metodo per approssimare una funzione nell'intorno di un punto di interesse.
La serie è una somma infinita di polinomi, quindi qualsiasi funzione si può approssimare (punto per punto) con una somma di polinomi (i mattoni dell'algebra insomma).
A seconda delle necessità, la somma infinita si può troncare per ottenere il livello di approssimazione con il livello di errore desiderato.
Per la formula di Taylor e la sua dimostrazione ti rimando al libro di testo.
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor
ok ma la teoria l'ho capita e so come applicare la formula.
volevo solo capire un metodo semplice per calcolare la derivata quarta di $cos(x^2)$.
Il problema mi dice di arrivare fino al quarto grado per poter ottenere il polinomio finale mi serve per forza la derivata quarta. come faccio?
No. Non ti serve la derivata quarta.
I) devi mandare a memoria gli sviluppi di MacLaurin notevoli, cioè devi fare una caterva di esercizi.
II) in questo caso
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
$t=x^2$
onde
$cos(x^2)=1-(x^2)^2/2+o((x^2)^2)=1-x^4/2+o(x^4)$
I) devi mandare a memoria gli sviluppi di MacLaurin notevoli, cioè devi fare una caterva di esercizi.
II) in questo caso
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
$t=x^2$
onde
$cos(x^2)=1-(x^2)^2/2+o((x^2)^2)=1-x^4/2+o(x^4)$
Ma se ti abbiamo risposto in 3 di fare la serie al secondo grado della funzine più semplice cos(x)???
Poi basta sostituire.
Perchè non accetti il consiglio? Se la tua religione ti impedisce di scegliere la strada più semplice allora calcola gli sviluppi $cos(x^2)$
Poi basta sostituire.
Perchè non accetti il consiglio? Se la tua religione ti impedisce di scegliere la strada più semplice allora calcola gli sviluppi $cos(x^2)$
"SirDanielFortesque":
No. Non ti serve la derivata quarta.
I) devi mandare a memoria gli sviluppi di MacLaurin notevoli, cioè devi fare una caterva di esercizi.
II) in questo caso
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
$t=x^2$
onde
$cos(x^2)=1-(x^2)^2/2+o((x^2)^2)=1-x^4/2+o(x^4)$
ok grazie.
ora ho capito.
mi puoi solo dire da dove o come ricavo questa formula?
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
"Bokonon":
religione
Addirittura
@LAAND4
Si può anche fare tutte le derivate con calma, solo che già alla derivata terza si è già fatta notte.
Per questo ti abbiamo suggerito tutti di adoperare la semplice sostituzione $t=x^2$.
"SirDanielFortesque":
[quote="Bokonon"]religione
Addirittura
@LAAND4
Si può anche fare tutte le derivate con calma, solo che già alla derivata terza si è già fatta notte.
Per questo ti abbiamo suggerito tutti di adoperare la semplice sostituzione $t=x^2$.[/quote]
Ok ho capito.
Non avevo letto bene la formula. mi sto portandoi alla situazione del limite notevole.
Ma come faccio a sapere che mi devo fermare a $-t^2/2$ e non devo proseguire?
"LAAN77":
questa formula?
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
Questa formula è uno sviluppo di MacLaurin notevole.
Devi stamparti la tabella dal tuo libro e impararla. Bastano 5 min al giorno.
"LAAN77":
io riesco a trovare solo quelle di "base" cosx
Appunto, $cos(x)$.
"LAAN77":
Ma come faccio a sapere che mi devo fermare a −t 2 2 -t^2/2 e non devo proseguire?
Questa sull'ordine di arresto è sicuramente una questione importante.
La risposta che mi sento di darti è che:
-in genere negli esercizi il quarto ordine è il massimo che si incontra
-per capire a che ordine fermarsi occorre, appunto, acquisire una certa sensibilità facendo diversi esercizi.
In questo caso, dato che il resto di Peano è $o(x^4)$ quanto $t=x^2$ e mi sono fermato al secondo ordine di sviluppo della funzione
$f(t)=cos(t)$, allora il secondo ordine è sufficiente, dato che a te interessava il quarto ordine.
"SirDanielFortesque":
[quote="LAAN77"]questa formula?
$cos(t)=1-(t^2)/2+o(t^2)$
Questa formula è uno sviluppo di MacLaurin notevole.
Devi stamparti la tabella dal tuo libro e impararla. Bastano 5 min al giorno.
"LAAN77":
io riesco a trovare solo quelle di "base" cosx
Appunto, $cos(x)$.[/quote]
ok ora è tutto chiarissimo grazie.
Ma se per esmpio mi viene chiesto il quarto grado di $e^(xsinx)$ in che modo posso ricondurmi al limite notevole?
o in questo caso non ho via di uscita e mi servono per forza le derivate?
"LAAN77":
non ho via di uscita
Prima di tutto è un esercizio e non una prigione, quindi la via d'uscita ci deve essere.
In secondo luogo, questo si svolge così:
$f(x)=e^(x*sen(x))$
Parti con la sostituzione:
$t(x)=x*sen(x)$
Riscrivi $f(t)=e^t$
A questo punto sviluppi $f(t)=e^t$, che è uno sviluppo notevole. Per il momento non sai che forma avrà lo sviluppo di $t(x)$, quindi sovradimensioni lo sviluppo e scrivi così:
$f(t)=e^t=1+t+1/2t^2+1/6t^3+1/24t^4+o(t^4)$
A questo punto sviluppi $t(x)=x*sen(x)=x*(x-x^3/6+o(x^3))=x^2-x^4/6+o(x^4)$
Mettendo le cose assieme, sostituisci la $t(x)$ in $f(t)$, ottenendo lo sviluppo di $f(x)$.
$f(t)=e^t=1+t+1/2t^2+1/6t^3+1/24t^4+o(t^4)=1+(x^2-x^4/6)+1/2(x^2-x^4/6)^2+1/6(x^2-x^4/6)^3+1/24*(x^2-x^4/6)^4$
in coda imponi una "precisione" di $o(x^4)$, quindi aggiungi un'informazione aggiuntiva, è in questo modo che segue:
$f(t(x))=f(x)=e^t=1+t+1/2t^2+1/6t^3+1/24t^4+o(t^4)=1+(x^2-x^4/6)+1/2(x^2-x^4/6)^2+1/6(x^2-x^4/6)^3+1/24*(x^2-x^4/6)^4+o(x^4)$
Questo ti aiuta molto, perché se nel fare i calcoli vedi che ottieni monomi di grado maggiore al quarto, allora quei calcoli non li devi fare, e quindi diventa tutto più semplice.
Inizi a sviluppare quindi le varie parentesi:
$f(x)=1+x^2-x^4/6 + 1/2(x^4+...)+1/6(...)+1/24*(...)=1+x^2-x^4/6+1/2x^4=1+x^2+1/3x^4+o(x^4)$
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