Polinomio di taylor

[francicko]

Salve!
Mi ponevo la seguente domanda , è possibile trovare un esempio di funzione indefinitivamente derivabile in $R $, dove in suo punto $x_0$ $!=$ $0$ con $f (x_0) $ $!=$ $0$, il suo polinomio di Taylor in $x_0$ risulti convergente ad un valore $!=$ da $f (x_0) $ ?

[otta96]

Non è ben chiaro cosa stai chiedendo, prova a riformularlo meglio, e può anche darsi che a quel punto ti sarai già risposto da solo.

[donald_zeka]

Il polinomio di Taylor è una cosa, la serie di Taylor è un'altra. Essere indefinitamente derivabile non è condizione sufficiente affinché una funzione sia analitica, per funzioni reali.

[dissonance]

"Vulplasir":Il polinomio di Taylor è una cosa, la serie di Taylor è un'altra. Essere indefinitamente derivabile non è condizione sufficiente affinché una funzione sia analitica, per funzioni reali.

Si ma in questo caso non è un problema. Secondo me, come giustamente dice otta, la domanda dell'OP si auto-risponderebbe se fosse posta correttamente. Infatti, se $P(x)$ è un polinomio di Taylor per $f$ centrato in $x_0$, per costruzione si ha $f(x_0)=P(x_0)$. Siccome poi un polinomio è una funzione continua, $\lim_{x\to x_0} P(x)=P(x_0)$.

[donald_zeka]

Beh si quello si, io pensavo parlasse di serie di taylor e della sua convergenza, dato che aveva citato la convergenza, allora si la domanda è formulata male.

[francicko]

Sì probabilmente ho esposto male la domanda, mi riferivo proprio alla serie di Taylor centrata nel punto $x_0$, questa può convergere o meno, e se converge può anche convergere ad un valore $!=$ da $f (x_0) $, ecco volevo un esempio in tal senso, in cui sia però $f (x_0) $ $!=$ da $0$

[dissonance]

Rileggi la mia risposta precedente, per favore. In $x_0$ la serie di Taylor centrata in $x_0$ non può valere che $f(x_0)$. È in un intorno del punto che ci possono essere problemi.

[francicko]

Scusate ho fatto confusione, volevo dire se era possibile avere un esempio in cui la serie $f (x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)^2/2 f''(x_0)+(x-x_0)^3/(3!)f'''(x_0)+..... $
sia convergente ma ad un valore diverso da $f (x) $

[donald_zeka]

Come ti è stato detto, in un intorno del punto $x_0$ non è garantita la convergenza della serie a $f(x)$, esistono opportuni teoremi a riguardo...ancora la tua domanda è malposta, non si capisce se sai già che l'essere indefinitamente derivabile attorno a $x_0$ non implica essere analitica in un intorno di $x_0$, e quindi cerchi un esempio di funzione indefinitamente derivabile ma non analitica, oppure se non sai che vale quanto sopra detto.
Un classico esempio è la funzione:

$f(x):={ ( e^(-1/x^2); x!=0 ),( 0; x=0 ):}$