Polinomio di Taylor
Ciao a tutti, ho difficoltà con questo esercizio.
Sia $a ∈ R$ e sia $f : RR → RR$ quattro volte derivabile e tale che, per $x → 0$,
$f(x) = 4 + a(a − 1)(a − 2)x + a(a^2 − 4)x^2 + a(a + 1)x^3 +1/5x^4 + o(x^4)$.
Stabilire per quali a il grafico di f presenta, nel punto di ascissa 0, uno dei seguenti comportamenti (specificando quale): massimo, minimo, flesso, flesso a tangente orizzontale.
Quello che dovrei fare è trovare dei "casi significativi" e vedere cosa ne viene fuori, però non sono sicuro di come si proceda. Ad esempio, basta osservare i valori per cui si annullano le parentesi? (come 0, 1, 2, -1, -2?)
Grazie in anticipo, scusate se sono stato poco chiaro.
Sia $a ∈ R$ e sia $f : RR → RR$ quattro volte derivabile e tale che, per $x → 0$,
$f(x) = 4 + a(a − 1)(a − 2)x + a(a^2 − 4)x^2 + a(a + 1)x^3 +1/5x^4 + o(x^4)$.
Stabilire per quali a il grafico di f presenta, nel punto di ascissa 0, uno dei seguenti comportamenti (specificando quale): massimo, minimo, flesso, flesso a tangente orizzontale.
Quello che dovrei fare è trovare dei "casi significativi" e vedere cosa ne viene fuori, però non sono sicuro di come si proceda. Ad esempio, basta osservare i valori per cui si annullano le parentesi? (come 0, 1, 2, -1, -2?)
Grazie in anticipo, scusate se sono stato poco chiaro.
Risposte
Ciao,
penso che tu debba sfruttare il fatto che la tua funzione si comporta come quel polinomio di quarto grado nell'intorno dello zero e quindi supporre che "sia proprio quel polinomio". Allora c'è un teorema che dice:
Sia $f$ una funzione di classe $C^n$ in un intervallo $(a,b)$ e sia $x_0 in (a,b)$ per cui si ha:
$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^(n-1)(x_0)=0$ e $f^(n)(x_0) \ne 0$. Allora:
1) se $n$ pari e $f^(n)(x_0)>0$ $x_0$ è di minimo relativo per $f$
2) se $n$ pari e $f^(n)(x_0)<0$ $x_0$ è di massimo relativo per $f$
3) se $n$ dispari la funzione non ha né massimo né minimo (quindi aggiungo io sarà un flesso)
Prova a sfruttare tale teorema calcolando le derivate (fino al quarto ordine se serve) nel punto $x_0=0$ che risulteranno funzioni di $a$
penso che tu debba sfruttare il fatto che la tua funzione si comporta come quel polinomio di quarto grado nell'intorno dello zero e quindi supporre che "sia proprio quel polinomio". Allora c'è un teorema che dice:
Sia $f$ una funzione di classe $C^n$ in un intervallo $(a,b)$ e sia $x_0 in (a,b)$ per cui si ha:
$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^(n-1)(x_0)=0$ e $f^(n)(x_0) \ne 0$. Allora:
1) se $n$ pari e $f^(n)(x_0)>0$ $x_0$ è di minimo relativo per $f$
2) se $n$ pari e $f^(n)(x_0)<0$ $x_0$ è di massimo relativo per $f$
3) se $n$ dispari la funzione non ha né massimo né minimo (quindi aggiungo io sarà un flesso)
Prova a sfruttare tale teorema calcolando le derivate (fino al quarto ordine se serve) nel punto $x_0=0$ che risulteranno funzioni di $a$
Ciao Ziben, credo di essere arrivato alla soluzione. Distinguo i casi per cui un valore di a annulla un termine e scrivo la funzione corrispondente. Poi "leggo" lo sviluppo che mi è rimasto.
$a=0 rarr f(x)=4+1/5x^4+o(x^4)$: visto che la derivata prima è nulla, $x_0$ è un estremante (in particolare un minimo).
$a=1 rarr f(x)=4-3x^2+o(x^2)$: la derivata prima è nulla, e la seconda è negativa, quindi ho un punto di massimo.
$a=2 rarr f(x)=4+6x^3+o(x^3)$: in questo caso ho la derivata terza diversa da zero, quindi un flesso orizzontale.
$a=-2 rarr f(x)=4-24x+2x^3+o(x^3)$: qui ho la derivata prima non nulla, quindi $x_0$ non è un estremante, ma essendo la derivata seconda nulla e la terza nonnulla possiamo affermare che si tratta di un flesso a tangente obliqua.
Spero sia corretto
$a=0 rarr f(x)=4+1/5x^4+o(x^4)$: visto che la derivata prima è nulla, $x_0$ è un estremante (in particolare un minimo).
$a=1 rarr f(x)=4-3x^2+o(x^2)$: la derivata prima è nulla, e la seconda è negativa, quindi ho un punto di massimo.
$a=2 rarr f(x)=4+6x^3+o(x^3)$: in questo caso ho la derivata terza diversa da zero, quindi un flesso orizzontale.
$a=-2 rarr f(x)=4-24x+2x^3+o(x^3)$: qui ho la derivata prima non nulla, quindi $x_0$ non è un estremante, ma essendo la derivata seconda nulla e la terza nonnulla possiamo affermare che si tratta di un flesso a tangente obliqua.
Spero sia corretto
Sono i risultati che ho ottenuto io. Una domanda, cosa intendi con "Distinguo i casi per cui un valore di a annulla un termine"?
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