Polinomio di taylor

[francicko]

Se $f (x) $ e' un polinomio, allora il polinomio di taylor calcolato in un punto $x_0$ coincide con $f (x) $, mi sbaglio?

[donald_zeka]

Si, è giusto, ma solo se il grado del polinomio di taylor è maggiore o uguale al grado di f(x), se no alcuni termini di f(x) se ne vanno nell'o-piccolo

[francicko]

Grazie molto per la risposta!!
Come si può impostare una dimostrazione scritta?

[donald_zeka]

Dato un generico polinomio $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ si deve trovare il suo polinomio di taylor di grado n centrato in x=0, risulta:

$f(0)=a_0$
$f'(0)=a_1$
$f''(0)=2a_2$
$f'''(0)=6a_3$
...

$f^(k)(0)=k!a_k$

Sapendo che il generico coefficiente del polinomio di taylor è $f^(k)(0)x^k/(k!)$, sostituendo il valore di $f^(k)(0)$ trovato si ha:

$f^(k)(0)x^k/(k!)=k!a_kx^k/(k!)=a_kx^k$ che non è altro che il termine k-esimo del nostro polinomio f(x) originario.