Polinomio di Taylor
premetto che conosco la formula del polinomio di Taylor... quindi in teoria la saprei applicare a funzioni "semplici"... però non so come svolgere gli esercizi che richiedono di calcolare, sviluppare tale polinomio per funzioni composte e/o comunque non banali...
del tipo:
dove $f(x)=...$ è una funzione composta...
e dove la stragrande maggioranza delle volte $x_0=0$ per comodità...
possibilmente step by step, come procedere per risolvere e come capire
del tipo:
scrivere il polinomio di Taylor di grado $n$ centrato in $x_0$ della funzione $f(x)=...$
calcolare la derivata $n$ in $x_0$ di $f(x)=...$
scrivere i primi $z$ termini non nulli dello sviluppo di Taylor centrato in $x_0$ della funzione $f(x)=...$
dove $f(x)=...$ è una funzione composta...
e dove la stragrande maggioranza delle volte $x_0=0$ per comodità...
possibilmente step by step, come procedere per risolvere e come capire
Risposte
Ciao, se sai cosa è il polinomio di Taylor (e magari conosci anche la teoria abbastanza bene) non dovresti avere problemi per il primo esercizio, dato che basta applicare la formula generale e applicarla al caso specifico in cui $x0=0$.
Stessa cosa per il secondo punto, calcolare la derivana n-esima (non derivata $n$), cioè sviluppata n volte...significa che te devi applicare la formula di Taylor n volte in $x0=0$ e poi ti basta isolare $f(x)$ di grado $n$.
Per il terzo punto ancora stessa cosa praticamente...significa che devi applicare la formula di Taylor centrata in $x0=0$ n volte finche non hai $z$ termini non nulli, ovvero che $f(x0)$ non sia $0$....
Dunque, il tuo problema non è tanto che non conosci la formula di Taylor ma che non sai come applicarla, dunque ti consiglio di darti una bella letta alla parte teorica dello sviluppo di Taylor e resto secondo Peano e anche Lagrange magari, è inutile che ti faccia vedere i passaggi passo a passo...non capiresti molto...
Stessa cosa per il secondo punto, calcolare la derivana n-esima (non derivata $n$), cioè sviluppata n volte...significa che te devi applicare la formula di Taylor n volte in $x0=0$ e poi ti basta isolare $f(x)$ di grado $n$.
Per il terzo punto ancora stessa cosa praticamente...significa che devi applicare la formula di Taylor centrata in $x0=0$ n volte finche non hai $z$ termini non nulli, ovvero che $f(x0)$ non sia $0$....
Dunque, il tuo problema non è tanto che non conosci la formula di Taylor ma che non sai come applicarla, dunque ti consiglio di darti una bella letta alla parte teorica dello sviluppo di Taylor e resto secondo Peano e anche Lagrange magari, è inutile che ti faccia vedere i passaggi passo a passo...non capiresti molto...
il mio problema è che so che c'è un "modo" per poter evitare di dover calcolare millemila derivate della funzione (soprattutto se è composta di più funzioni, magari riconducibile a funzioni semplici, delle quali esiste la tabella dello sviluppo), infatti non è concepibile di dover calcolare la n-esima derivata della funzione fino all'ordine n richiesto, dato che la funzione, ripeto, è composta da più funzioni, ma non so tale modo in questione...
per funzione composta intendo una del tipo, per esempio: $f(x)=e^(x^2 + sinx + log(cosx))/(sinx + e^cosx)$
che è praticamente impossibile da derivare fino all'ordine 10, per esempio, calcolando via via una derivata alla volta della funzione...
Beh, difficilmente ti verrà richiesto, e sarà conveniente, utilizzare gli sviluppi per calcolare un limite che non sia centrato in 0. Il "trucco" è ricordarsi gli sviluppi delle funzioni che compaiono più spesso come \(\displaystyle e^x \), \(\displaystyle cos(x) \), \(\displaystyle sin(x) \), \(\displaystyle log(1+x) \), \(\displaystyle (1+x)^a \)...
Componendo gli sviluppi opportunamente ottieni lo sviluppo della funzione desiderata. Faccio un esempio:
\(\displaystyle exp(sin(x)) \)
\(\displaystyle e^t = 1 + t + (t^2)/2 + o(t^2) \)
\(\displaystyle t = sin(x) = x - (x^3)/3 + o(x^3) \)
Sostituendo dunque lo sviluppo del seno ottieni:
\(\displaystyle exp(sin(x)) = 1 + (x- (x^3)/3 + o(x^3)) + (x - (x^3)/3 + o(x^3))^2 \)
Componendo gli sviluppi opportunamente ottieni lo sviluppo della funzione desiderata. Faccio un esempio:
\(\displaystyle exp(sin(x)) \)
\(\displaystyle e^t = 1 + t + (t^2)/2 + o(t^2) \)
\(\displaystyle t = sin(x) = x - (x^3)/3 + o(x^3) \)
Sostituendo dunque lo sviluppo del seno ottieni:
\(\displaystyle exp(sin(x)) = 1 + (x- (x^3)/3 + o(x^3)) + (x - (x^3)/3 + o(x^3))^2 \)
ditemi se ho capito bene e se i passaggi che svolgo sono giusti...
esempio:
innanzitutto sostituisco $x^2=y$
lo sviluppo (centrato in zero) di $cos(y)=1-y^2/2+y^4/(4!)-y^6/(6!)+O(y^8)$
lo sviluppo (centrato in zero) di $e^y=1+y+y^2/2+y^3/(3!)+y^4/(4!)+y^5/(5!)+y^6/(6!)+O(y^7)$
quindi sostituisco nei singoli sviluppi $y=x^2$
e ottengo:
$cos(x^2)=1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16)$
$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)$
quindi:
$f(x) = cos(x^2)-e^(x^2) = cos(x^2) = 1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16) - (1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)) = -x^2-x^4-x^6/(3!)$
è corretto il risultato?
ci sono però delle piccole singole riprove che non mi tornano:
se considero singolarmente la funzione $cos(x^2)$ e derivo via via in zero, ottengo:
$(cos(x^2))(0)=1$
$D'(cos(x^2))(0)=0$
$D''(cos(x^2))(0)=0$
$D'''(cos(x^2))(0)=4$
quindi come sviluppo di $cos(x^2)$, dovrei avere:
$P(cos(x^2))=1+4x^3/(4!)+...$
invece risulta essere (come sopra scritto):
$cos(x^2)=1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16)$
lo stesso succede per la funzione $e^x^2$:
$(e^(x^2))(0)=1$
$D'(e^(x^2))(0)=0$
$D''(e^(x^2))(0)=2$
$D'''(e^(x^2))(0)=0$
$D''''(e^(x^2))(0)=12$
quindi avrei come sviluppo di $e^(x^2)=1+x^2+12x^4/(4!)$ che è diverso da: $1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)$
qual'è corretto? quello calcolato "manualmente" con le derivate successive?
e dove sbaglio?
esempio:
Scrivere il polinomio d Taylor di grado 6 centrato in zero della funzione $f(x)=cos(x^2)-e^(x^2)$
innanzitutto sostituisco $x^2=y$
lo sviluppo (centrato in zero) di $cos(y)=1-y^2/2+y^4/(4!)-y^6/(6!)+O(y^8)$
lo sviluppo (centrato in zero) di $e^y=1+y+y^2/2+y^3/(3!)+y^4/(4!)+y^5/(5!)+y^6/(6!)+O(y^7)$
quindi sostituisco nei singoli sviluppi $y=x^2$
e ottengo:
$cos(x^2)=1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16)$
$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)$
quindi:
$f(x) = cos(x^2)-e^(x^2) = cos(x^2) = 1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16) - (1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)) = -x^2-x^4-x^6/(3!)$
è corretto il risultato?
ci sono però delle piccole singole riprove che non mi tornano:
se considero singolarmente la funzione $cos(x^2)$ e derivo via via in zero, ottengo:
$(cos(x^2))(0)=1$
$D'(cos(x^2))(0)=0$
$D''(cos(x^2))(0)=0$
$D'''(cos(x^2))(0)=4$
quindi come sviluppo di $cos(x^2)$, dovrei avere:
$P(cos(x^2))=1+4x^3/(4!)+...$
invece risulta essere (come sopra scritto):
$cos(x^2)=1-x^4/2+x^8/(4!)-x^12/(6!)+O(x^16)$
lo stesso succede per la funzione $e^x^2$:
$(e^(x^2))(0)=1$
$D'(e^(x^2))(0)=0$
$D''(e^(x^2))(0)=2$
$D'''(e^(x^2))(0)=0$
$D''''(e^(x^2))(0)=12$
quindi avrei come sviluppo di $e^(x^2)=1+x^2+12x^4/(4!)$ che è diverso da: $1+x^2+x^4/2+x^6/(3!)+x^8/(4!)+x^10/(5!)+x^12/(6!)+O(x^14)$
qual'è corretto? quello calcolato "manualmente" con le derivate successive?
e dove sbaglio?
Deve tornare in entrambi i modi; Controlla bene la derivata terza di $ cos(x^2) $ in $ 0 $, secondo me non fa $ 4 $.
Inoltre, quando calcoli la derivata di $ e^(x^2) $, quando hai $ \frac{12}{4!} * x^4 $ dici che non è uguale a $ \frac{x^4}{2} $, ma in realtà $ \frac{12}{4!} = 12/24 = 1/2 $.
Inoltre, quando calcoli la derivata di $ e^(x^2) $, quando hai $ \frac{12}{4!} * x^4 $ dici che non è uguale a $ \frac{x^4}{2} $, ma in realtà $ \frac{12}{4!} = 12/24 = 1/2 $.
"zeno182":
Scrivere il polinomio d Taylor di grado 6 centrato in zero della funzione $f(x)=cos(x^2)-e^(x^2)$
$cos(x^2)=1-x^4/2+x^8/24+o(x^8)$
$e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+x^6/6+o(x^6)$
$=>M_cL[cos(x^2)-e^(x^2)]=-x^2-x^4-x^6/6+o(x^6)$
"zeno182":
ci sono però delle piccole singole riprove che non mi tornano:
se considero singolarmente la funzione $cos(x^2)$ e derivo via via in zero, ottengo:
$(cos(x^2))(0)=1$
$D'(cos(x^2))(0)=0$
$D''(cos(x^2))(0)=0$
$D'''(cos(x^2))(0)=4$
[...]
Questo perché $[(text(d)^3 cos(x^2))/(text(d)x^3)]_0 ne 4$, fa' meglio i conti
"zeno182":
lo stesso succede per la funzione $e^x^2$:
$(e^(x^2))(0)=1$
$D'(e^(x^2))(0)=0$
$D''(e^(x^2))(0)=2$
$D'''(e^(x^2))(0)=0$
$D''''(e^(x^2))(0)=12$
quindi avrei come sviluppo di $e^(x^2)=1+x^2+12x^4/(4!)$ [...]
Scusa ma quanto fa $12/(4!)$?
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