Polinomio di McLaurin di funzione integrale

[peppe0091]

Salve a tutti,
Vorrei chiedervi aiuto nella risoluzione di questo quesito che chiedeva di determinare il Polinomio di McLaurin di ordine 1 di una funzione integrale e con la funzione integranda una funzione composta a tratti.

(Perdonatemi ma non mi é ancora ben chiaro come inserire le formulette)

La funzione integrale é definita cosí:

$F(x) := int_0^x f(t) "d"t$

e la funzione $f(t)$ sarebbe la seguente:

$f(x) := \{ (ln(1+x^2)/(e^(2x)-1)^2 , ", per " x > 0), (((1+x^4)^(1/4) - 1)/x^4 , ", per " x < 0), (1/4, ", per " x = 0) :}$

Il mio dubbio consiste nel seguente fatto, poiché feci esattamente cosí all'esame in cui venne richiesto la risoluzione di un quesito cosí ma mi fu detto che non era completamente corretto. Per via del dubbio, quindi, non so quale approcio sia corretto:

1) dato che la funzione $f(x)$ é una funzione integranda, per determinare il Polinomio di McLaurin dovrei partire dalla funzione integrale di per se, no? Facendo cosí, $F(0)$ viene ovviamente $0$, $F'(0)(x-0)$ viene $x/4$ quindi: $x/4 + "o"(x)$.

2) considero direttamente la funzione integranda, senza considerare l'integrale.. ma cosí verrebbe $f(0) = 1/4$ e $f'(0) = 0 => 1/4 + "o"(x)$

Grazie mille in anticipo e buona domenica!
peppe009

[gugo82]

Non capisco quale possa essere il dubbio: l'approccio 1 è quello corretto, ma... Per scrivere il polinomio di MacLaurin d'ordine $1$ devi essere sicuro che $F$ si derivabile in $0$. Lo è? Perché?

Stabilito ciò, la formula di MacLaurin è $F(0) + F^\prime (0)*x + "o"(x)$ e ti basta calcolare $F(0)$ ed $F^\prime (0)$ per terminare.