Polinomio di maclaurin di ordine 3

[mrpoint]

dala la funzione $f(x)=e^-x*(x+1)$

il mio problema è; calcolando le prime 3 derivate della funzione esse mi risultano:

- $f'(x)=-x*e^-x$ da cui ricavo che $f'(0)=0$

- $f''(x)=e^-x*(x-1)$ da cui ricavo $f''(0)=-1$

- $f'''(x)=e^-x*(2-x)$ da cui ricavo infine $f'''(0)=2$

ora; per la definizione stessa di polinomio di MacLaurin $x->0$ ricavo che

$T(x)=1-(x^2)/2+(2*x^3)/3!+o(x^3)$


la mia domanda è: è giusto lo sviluppo? il dubbio mi sorge perchè sull'eserciziario che uso il risultato riportato è $T(x)=1+-(x^2)/2+(x^3)/3!+o(x^3)$ ma a parer mio è sbagliato. D'altronde non ho modo di confrontare il risultato con altri.. fatemi sapere, grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Ricordando che è...

$e^(-x)= 1-x+x^2/2-x^3/6+... $ (1)

... e svolgendo il prodotto si trova...

$e^(-x)*(1+x)= 1+x-x-x^2+x^2/2+x^3/2-x^3/6-x^4/6+...= 1-x^2/2+x^3/3-...$ (2)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, bnut never his nature

[mrpoint]

allora innanzitutto grazie mille per la celere risposta, posso dire di aver capito la tua proposta di soluzione, l'ho appena svolta e il risultato è corretto;
però ancora mi sfugge perchè il mio metodo risolutivo è errato; teoricamente il risultato dovrebbe essere identico.
Io mi sono limitato ad applicare la definizione stessa di polinomio di MacLaurin...
Data la mia $f(x)$ ho ricavate le prime n derivate e le ho moltiplicate...

Non capisco davvero perchè non venga...

[Sk_Anonymous]

Le derivate sono esatte.Il coefficiente $a_n$ dello sviluppo in serie vale $a_n= (f^((n))(0))/(n!)$ per cui...

$a_0=(f(0))/(0!)=(f(0))/1=1/1=1$

$a_1=(f'(0))/(1!)=(f'(0))/1=0/1=0$

$a_2=(f^((2))(0))/(2!)=(f^((2))(0))/2=-1/2$

$a_3=(f^((3))(0))/(3!)=(f^((3))(0))/6=2/6=1/3$

Pertanto...

cordiali saluti

lupo grgio

Nobis ardua

Comandante CC Carlo Fecia di Cossato

[mrpoint]

hai perfettamente ragione, sono io talmente "svalvolato" da non accorgermi che al denominatore c'era un !3=6 e non 3.
ora è tutto chiaro.


Ancora grazie mille.