Polinomio complesso
salve, mi sto esercitando a trovare le radici delle equazioni complesse (non ho ancora capito come sfruttare la forma esponenziale),
devo trovare le radici del seguente polinomio: $p(z)=z^3+i-1$
quindi sostituendo ottengo: $z^3+i-1=r^3*e^(i(3theta))+i-1$
so che $r=sqrt(x^2+y^2)$ e $e^(i*theta)=costheta+isintheta$ e $theta=arctan (y/x)$
e provo a sostituire:
$2sqrt2*(cos3theta+isin3theta)+i-1$, separando le parti ho:
reale: $2sqrt2*cos3theta-1$
img: $2sqrt2*isin3theta+i$
ma come ricavo le radici?
spero in qualche suggerimento, grazie
devo trovare le radici del seguente polinomio: $p(z)=z^3+i-1$
quindi sostituendo ottengo: $z^3+i-1=r^3*e^(i(3theta))+i-1$
so che $r=sqrt(x^2+y^2)$ e $e^(i*theta)=costheta+isintheta$ e $theta=arctan (y/x)$
e provo a sostituire:
$2sqrt2*(cos3theta+isin3theta)+i-1$, separando le parti ho:
reale: $2sqrt2*cos3theta-1$
img: $2sqrt2*isin3theta+i$
ma come ricavo le radici?
spero in qualche suggerimento, grazie
Risposte
Poni uguali a zero (a sistema) parte reale e parte immaginaria e risolvi rispetto a $theta$. Dovresti trovare $tan 3theta=-1$, congiuntamente alla richiesta che sia: $3/2 pi<3theta<2pi$.
Comunque in casi come questo la forma esponenziale è sicuramente la più immediata, ti conviene approfondirla.
Comunque in casi come questo la forma esponenziale è sicuramente la più immediata, ti conviene approfondirla.
"Palliit":
Poni uguali a zero (a sistema) parte reale e parte immaginaria e risolvi rispetto a $theta$. Dovresti trovare $tan 3theta=-1$, congiuntamente alla richiesta che sia: $3/2 pi<3theta<2pi$.
arrivo fino a qui: $ { ( cos3theta=+1/(2sqrt2) ),( sin3theta=-i/(2sqrt2*i) ):} $ -> $ { ( cos3theta=+1/(2sqrt2) ),( sin3theta=-1/(2sqrt2) ):} $
quindi per ottenere $tan 3theta=-1$ dividi la parte immaginaria con quella reale, si può fare?
"Palliit":
Comunque in casi come questo la forma esponenziale è sicuramente la più immediata, ti conviene approfondirla.
purtroppo il mio libro la accenna appena, non ci sono esercizi o altro, in rete non ho trovato esempi chiari e sto cercando di capirla.
grazie
Comunque nelle equazioni che hai scritto c' è qualcosa che non va, mi pare...
ti riferisci ai passaggi del sistema?
ho fatto solo operazioni semplici
forse dovrei sostituire $theta=arctan (y/x)$ ma credo che complichi solo le cose
ho fatto solo operazioni semplici
forse dovrei sostituire $theta=arctan (y/x)$ ma credo che complichi solo le cose
$z^3=1-i$__$rightarrow$__$r^3(cos 3theta+i sin3theta)=sqrt2 (1/(sqrt2)-i/(sqrt2))$__$rightarrow$__$r^3=sqrt2$, $cos 3theta=1/(sqrt2)$_e_$sin 3theta=-1/(sqrt2)$__.
"Palliit":
$z^3=1-i$__$rightarrow$__$r^3(cos 3theta+i sin3theta)=sqrt2 (1/(sqrt2)-i/(sqrt2))$__$rightarrow$__$r^3=sqrt2$, $cos 3theta=1/(sqrt2)$_e_$sin 3theta=-1/(sqrt2)$__.
scusami ma non ho capito
:$r=sqrt2 -> r^3=(sqrt2)^3=2sqrt2$
perchè$ cos3theta=1/sqrt2 $ e $sin3theta=-1/sqrt2 $ ?
non vedo come trovare le radici, risolvendo la parentesi ottengo $1-i$
[tex]r^3=\sqrt{2}\rightarrow r=\sqrt[6]{2}[/tex].
Se vuoi risolvere in quel modo l'equazione $z^3=1-i$ devi scrivere tutti e due i membri in forma trigonometrica $rho(cos phi + i sin phi)$; per cui: $|1-i|=sqrt2$, rappresentandolo graficamente vedi subito che la sua anomalia è $7/4 pi$ per cui diventa: $1-i=sqrt2 (\cos (7/4 pi)+i \sin (7/4 pi))$; dopo di che uguagli i moduli e (a meno di $2k pi$ ) le due anomalie.
Se vuoi risolvere in quel modo l'equazione $z^3=1-i$ devi scrivere tutti e due i membri in forma trigonometrica $rho(cos phi + i sin phi)$; per cui: $|1-i|=sqrt2$, rappresentandolo graficamente vedi subito che la sua anomalia è $7/4 pi$ per cui diventa: $1-i=sqrt2 (\cos (7/4 pi)+i \sin (7/4 pi))$; dopo di che uguagli i moduli e (a meno di $2k pi$ ) le due anomalie.
"Palliit":
[tex]r^3=\sqrt{2}\rightarrow r=\sqrt[6]{2}[/tex].
Se vuoi risolvere in quel modo l'equazione $z^3=1-i$ devi scrivere tutti e due i membri in forma trigonometrica $rho(cos phi + i sin phi)$; per cui: $|1-i|=sqrt2$, rappresentandolo graficamente vedi subito che la sua anomalia è $7/4 pi$ per cui diventa: $1-i=sqrt2 (\cos (7/4 pi)+i \sin (7/4 pi))$; dopo di che uguagli i moduli e (a meno di $2k pi$ ) le due anomalie.
grazie,
continuo ad essere convinto che $(sqrt2)^3=2^(3/2)=2sqrt2$
ma credo di aver capito, devo solo metterlo in pratica anche se ancora non ho il quadro generale (sopratutto sul finale dell'esercizio).quindi ho provato a risolvere un esercizio del libro che dovrebbe essere semplice ma il risultato non corrisponde:
$z^2+(3-2i)z+1-3i=0$ trovare le radici, risultato: $z=i-1, z=i-2$
usando la forma trigonometrica ecco i miei calcoli:
$z^2+(3-2i)z+1-3i=0$->
$2(cos(pi/2)+isin(pi/2))+3sqrt2(cos(pi/4)+isin(pi/4))-2isqrt2(cos(pi/4)+isin(pi/4))+1-3i=0$
parte reale: $0+3sqrt2*sqrt2/2+1=4$
parte Img: $i*sin(pi/2)+i*sin(pi/4)-3i=0 -> i+i(sqrt2/2)-3i=0->i(sqrt2/2-2)=0$
quindi ho $z=4+i(sqrt2/2-2)$
da qui come faccio ad ottenere le radici complesse?
grazie
Ciao.
Ne sono convinto anch'io, ma forse attribuiamo ad $r$ due significati diversi, per me era il modulo dell'incognita complessa $z$.
Questa basta risolverla come una normale equazione di secondo grado:
[tex]z_{1,2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{(3-2i)^{2}-4(1-3i)}}{2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{9-4-12i-4+12i}}{2}=\frac{-3+2i\pm 1}{2}[/tex].
"12Aquila":
continuo ad essere convinto che $(sqrt2)^3=2^(3/2)=2sqrt2$
Ne sono convinto anch'io, ma forse attribuiamo ad $r$ due significati diversi, per me era il modulo dell'incognita complessa $z$.
"12Aquila":
$z^2+(3-2i)z+1-3i=0$ trovare le radici, risultato: $z=i-1, z=i-2$
Questa basta risolverla come una normale equazione di secondo grado:
[tex]z_{1,2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{(3-2i)^{2}-4(1-3i)}}{2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{9-4-12i-4+12i}}{2}=\frac{-3+2i\pm 1}{2}[/tex].
"Palliit":
Ciao.
[...]
Questa basta risolverla come una normale equazione di secondo grado:
[tex]z_{1,2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{(3-2i)^{2}-4(1-3i)}}{2}=\frac{-3+2i\pm \sqrt{9-4-12i-4+12i}}{2}=\frac{-3+2i\pm 1}{2}[/tex].
Grazie, ciao
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