Polinomio caratteristico nelle funz a più variabili
salve a tutti, ho la seguente funzione da studiare:
$ f(x,y)=g(x^2+xy-4) $ con la funzione $ g(t)=e ^t +e^(-t) $ .
Dopo aver studiato $ g(t) $ arrivo a dire che per $ t>0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è crescente mentre per $ t<0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è decrescente.
A questo punto mi studio la funzione $ h(t) =(x^2+xy-4) $ con la matrice Hessiana e trovo che per il punto $ A-= (0;0) $ il $ detH $ nel punto mi da zero, quindi nulla si può dire. Trovo che per $ f(0,0) $ ho come risultato $ -4 $ e quindi mi porta a dire che il punto $ A-= (0;0) $ è di minimo relativo in $ f $.
Se volessi adesso studiare la Hessiana che dava il det uguale a zero introduco gli autovalori nella matrice e mi studio il polinomio caratteristico: $ detH( ( 2-lambda , 0 ),( 0, -lambda ) ) =lambda ^2-2lambda $ da cui ottengo un nuovo punto $ B-=(0;2) $.
Qui ora dico che poichè la matrice Hessiana è semi positiva di sicuro il punto $ (0;0) $ non sarà di massimo, in comune accordo con la $ f(0,0) $. Se volessi studiarmi il comportamento assunto nell'intorno di $ (0;2) $ cosa dovrei fare? Qualche limite che non ho pensato?
Grazie per la pazienza
$ f(x,y)=g(x^2+xy-4) $ con la funzione $ g(t)=e ^t +e^(-t) $ .
Dopo aver studiato $ g(t) $ arrivo a dire che per $ t>0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è crescente mentre per $ t<0 $ $ rArr $ $ g(t) $ è decrescente.
A questo punto mi studio la funzione $ h(t) =(x^2+xy-4) $ con la matrice Hessiana e trovo che per il punto $ A-= (0;0) $ il $ detH $ nel punto mi da zero, quindi nulla si può dire. Trovo che per $ f(0,0) $ ho come risultato $ -4 $ e quindi mi porta a dire che il punto $ A-= (0;0) $ è di minimo relativo in $ f $.
Se volessi adesso studiare la Hessiana che dava il det uguale a zero introduco gli autovalori nella matrice e mi studio il polinomio caratteristico: $ detH( ( 2-lambda , 0 ),( 0, -lambda ) ) =lambda ^2-2lambda $ da cui ottengo un nuovo punto $ B-=(0;2) $.
Qui ora dico che poichè la matrice Hessiana è semi positiva di sicuro il punto $ (0;0) $ non sarà di massimo, in comune accordo con la $ f(0,0) $. Se volessi studiarmi il comportamento assunto nell'intorno di $ (0;2) $ cosa dovrei fare? Qualche limite che non ho pensato?
Grazie per la pazienza
Risposte
Ma perchè studi due funzioni separatamente? La funzione da studiare è $f(x,y)=e^(x^2+xy-4)+e^-(x^2+xy-4)=2cosh(x^2+xy-4)$
funzione composta...studio il comportamento di g al variare di t e vedo come si comporta il suo argomento...
credo di aver risolto il mio problema....quando inserisco il $ lambda $ devo farlo nella matrice hessiana iniziale e non su quella con la sostituzione. A quel punto studio i limiti del determinate per il punto criticoo $(0,0)$ che ho trovato.
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