Polinomi Ortogonali e Funzione Peso...
Ciao a tutti,
sto cercando di capire la definizione di polinomi ortogonali.
In particolare si afferma che:
In matematica, una famiglia di polinomi $p_n(x)$ per n = 0, 1, 2, ..., dove per ogni n si ha un polinomio di grado n, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo [a,b] rispetto alla funzione peso w(x) positiva nell'intervallo scelto se:
$int_Aw(x)p_n(x)p_m(x) dx=0$ per ogni $n!=m$
Non riesco a capire il significato di questa definizione. Perchè si parla di polinomi ortogonali tirando in ballo una funzione peso?
Sareste così gentili da spiegarmi in termini semplici il significato di questo concetto?
Su che base si sceglie una funzione peso e che rilevanza ha sull'ortogonalità di due polinomi?
Grazie per l'attenzione
sto cercando di capire la definizione di polinomi ortogonali.
In particolare si afferma che:
In matematica, una famiglia di polinomi $p_n(x)$ per n = 0, 1, 2, ..., dove per ogni n si ha un polinomio di grado n, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo [a,b] rispetto alla funzione peso w(x) positiva nell'intervallo scelto se:
$int_Aw(x)p_n(x)p_m(x) dx=0$ per ogni $n!=m$
Non riesco a capire il significato di questa definizione. Perchè si parla di polinomi ortogonali tirando in ballo una funzione peso?
Sareste così gentili da spiegarmi in termini semplici il significato di questo concetto?
Su che base si sceglie una funzione peso e che rilevanza ha sull'ortogonalità di due polinomi?
Grazie per l'attenzione
Risposte
Questo:
[tex]$ \int_A p_n p_m w dx[/tex]
è un prodotto scalare, che di solito si indica con [tex]\langle p_n , p_m \rangle _w[/tex]. Rispetto a questo prodotto abbiamo una nozione di ortogonalità che è quella data dalla tua definizione. Cambiare [tex]w[/tex] significa cambiare prodotto scalare: in particolare con [tex]w(x)=1[/tex] ottieni il prodotto scalare solito tra funzioni reali.
Per farti un parallelo geometrico, di solito quando parli di vettori 2-dimensionali il prodotto scalare lo prendi come
[tex]$[x_1, y_1] \cdot [x_2, y_2 ]=x_1x_2+y_1y_2[/tex]
ma potresti prenderlo come
[tex]$[x_1, y_1] \star [x_2, y_2 ]=x_1x_2+2y_1y_2[/tex]
cambiando la nozione di ortogonalità: per esempio rispetto a questo prodotto scalare [tex][1, 1], [-1, 1][/tex] non sono ortogonali mentre lo sono [tex][1, 1], [-1, 0.5][/tex]. La teoria però è essenzialmente la stessa ed è così anche per le funzioni.
[tex]$ \int_A p_n p_m w dx[/tex]
è un prodotto scalare, che di solito si indica con [tex]\langle p_n , p_m \rangle _w[/tex]. Rispetto a questo prodotto abbiamo una nozione di ortogonalità che è quella data dalla tua definizione. Cambiare [tex]w[/tex] significa cambiare prodotto scalare: in particolare con [tex]w(x)=1[/tex] ottieni il prodotto scalare solito tra funzioni reali.
Per farti un parallelo geometrico, di solito quando parli di vettori 2-dimensionali il prodotto scalare lo prendi come
[tex]$[x_1, y_1] \cdot [x_2, y_2 ]=x_1x_2+y_1y_2[/tex]
ma potresti prenderlo come
[tex]$[x_1, y_1] \star [x_2, y_2 ]=x_1x_2+2y_1y_2[/tex]
cambiando la nozione di ortogonalità: per esempio rispetto a questo prodotto scalare [tex][1, 1], [-1, 1][/tex] non sono ortogonali mentre lo sono [tex][1, 1], [-1, 0.5][/tex]. La teoria però è essenzialmente la stessa ed è così anche per le funzioni.
Ciao dissonance,
Innanzitutto grazie per l'ennesimo aiuto che mi stai offrendo.
Ho capito tutto ma non capisco perchè si debba estendere il concetto di prodotto scalare aggiungendo una funzione peso.
L'ortogonalità è un concetto semplice che già ha un suo significato così com'è. Se influenzo il prodotto aggiungendo una funzione peso che utilità ne traggo?
E' tanto per inventare teoremi e diventare famosi?
Innanzitutto grazie per l'ennesimo aiuto che mi stai offrendo.
Ho capito tutto ma non capisco perchè si debba estendere il concetto di prodotto scalare aggiungendo una funzione peso.
L'ortogonalità è un concetto semplice che già ha un suo significato così com'è. Se influenzo il prodotto aggiungendo una funzione peso che utilità ne traggo?
E' tanto per inventare teoremi e diventare famosi?
Solite parole da ingegnere che non conosce i problemi dell'Ingegneria stessa. 
Molti problemi di autovalori relativi alle EDO che ci si trova ad affrontare in Ingegneria coinvolgono equazioni del tipo:
[tex]$[p(x)\ u^\prime (x)]^\prime +q(x)\ u(x)=-\lambda\ w(x)\ u(x)$[/tex]
([tex]$u$[/tex] incognita; [tex]$p,q,w$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex], ad esempio, e positive) con condizioni diverse da quelle del classico problema di Cauchy (di solito si pongono condizioni agli estremi dell'intervallo); è proprio per fare teoremi di esistenza delle soluzioni per questo tipo di problemi che è necessario introdurre prodotti scalari modificati in cui si sceglie come peso proprio la funzione [tex]$w(x)$[/tex] che figura a secondo membro.
Molti problemi di autovalori relativi alle EDO che ci si trova ad affrontare in Ingegneria coinvolgono equazioni del tipo:
[tex]$[p(x)\ u^\prime (x)]^\prime +q(x)\ u(x)=-\lambda\ w(x)\ u(x)$[/tex]
([tex]$u$[/tex] incognita; [tex]$p,q,w$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex], ad esempio, e positive) con condizioni diverse da quelle del classico problema di Cauchy (di solito si pongono condizioni agli estremi dell'intervallo); è proprio per fare teoremi di esistenza delle soluzioni per questo tipo di problemi che è necessario introdurre prodotti scalari modificati in cui si sceglie come peso proprio la funzione [tex]$w(x)$[/tex] che figura a secondo membro.
E invece è una cosa utilissima, sia dal punto di vista teorico sia da quello applicativo. Dal punto di vista teorico è spesso importante che una classe di polinomi sia ortogonale, non che sia ortogonale rispetto al prodotto non pesato. I polinomi di Chebyshev per esempio sono estremamente importanti nella teoria dell'approssimazione, e non sono ortogonali se non aggiungi un peso, mi pare [tex]1/(1-x^2)[/tex], al prodotto scalare.
E vogliamo parlare dei polinomi di Hermite, che sono ortogonali nell'intervallo [tex](-\infty, +\infty)[/tex], con un opportuno peso (mi pare [tex]e^{-x^2}[/tex])? Ti segnalo che se conosci una successione di polinomi ortogonali in un intervallo [tex](a, b)[/tex] rispetto al peso [tex]w[/tex], puoi facilmente costruire una successione di formule di quadratura per approssimare gli integrali
[tex]$\int_a^b f(x) w(x)\, dx[/tex];
questo vuol dire che grazie ai polinomi di Hermite riesci a calcolare integrali di tipo
[tex]$\int_{-\infty}^\infty f(x) w(x)\, dx[/tex]
nota bene: il dominio è un intervallo non limitato. Rifletti un po' sulla difficoltà tecnica di approssimare un integrale del genere: non è affatto banale. E rifletti anche sul fatto che, senza aggiungere un peso, non potrai mai trovare polinomi ortogonali in [tex](-\infty, +\infty)[/tex]:
[tex]$\int_{-\infty}^\infty P(x) Q(x)\, dx[/tex] non è mai ben definito, a meno che uno dei polinomi non sia nullo.
Naturalmente non finisce qui. Le applicazioni sono molteplici e queste sono solo le prime due che mi vengono in mente. Andando avanti con lo studio ne troverai parecchie pure tu.
E vogliamo parlare dei polinomi di Hermite, che sono ortogonali nell'intervallo [tex](-\infty, +\infty)[/tex], con un opportuno peso (mi pare [tex]e^{-x^2}[/tex])? Ti segnalo che se conosci una successione di polinomi ortogonali in un intervallo [tex](a, b)[/tex] rispetto al peso [tex]w[/tex], puoi facilmente costruire una successione di formule di quadratura per approssimare gli integrali
[tex]$\int_a^b f(x) w(x)\, dx[/tex];
questo vuol dire che grazie ai polinomi di Hermite riesci a calcolare integrali di tipo
[tex]$\int_{-\infty}^\infty f(x) w(x)\, dx[/tex]
nota bene: il dominio è un intervallo non limitato. Rifletti un po' sulla difficoltà tecnica di approssimare un integrale del genere: non è affatto banale. E rifletti anche sul fatto che, senza aggiungere un peso, non potrai mai trovare polinomi ortogonali in [tex](-\infty, +\infty)[/tex]:
[tex]$\int_{-\infty}^\infty P(x) Q(x)\, dx[/tex] non è mai ben definito, a meno che uno dei polinomi non sia nullo.
Naturalmente non finisce qui. Le applicazioni sono molteplici e queste sono solo le prime due che mi vengono in mente. Andando avanti con lo studio ne troverai parecchie pure tu.
Ma quante ne inventano sti matematici per far quadrare i conti? :)
Scherzi a parte sei stato chiarissimo dissonance. Rifletterò ;)
Ps. la funzione peso di ortogonalità di chebychev è $1/sqrt(1-x^2)$, ci sei andato vicino :) Mentre quella di hermite l'hai azzeccata :) :) :)
Grazie mille di tutto e buona giornata!
Scherzi a parte sei stato chiarissimo dissonance. Rifletterò ;)
Ps. la funzione peso di ortogonalità di chebychev è $1/sqrt(1-x^2)$, ci sei andato vicino :) Mentre quella di hermite l'hai azzeccata :) :) :)
Grazie mille di tutto e buona giornata!
Ma se dovessi integrare $x^4/sqrt(1-x^2)$ da -1 a 1 noto che la funzione è composta da
$1/sqrt(1-x^2)$ (che è la funzione peso di Chebyshev) moltiplicato per$x^4$ e per il primo polinomio di Chebyshev (cioè 1).
Quindi concettualmente posso dire che il polinomio $x^4$ e 1 NON sono ortogonali per la funzione peso e quindi se eseguo l'integrale (cioè il prodotto scalare) otterò il risultato ??
$1/sqrt(1-x^2)$ (che è la funzione peso di Chebyshev) moltiplicato per$x^4$ e per il primo polinomio di Chebyshev (cioè 1).
Quindi concettualmente posso dire che il polinomio $x^4$ e 1 NON sono ortogonali per la funzione peso e quindi se eseguo l'integrale (cioè il prodotto scalare) otterò il risultato ??
Del tuo post non si capisce assolutamente nulla, devi cercare di esprimerti meglio. Posso solo cercare di immaginare quale sia la tua domanda: tu vuoi calcolare questo integrale
\begin{equation}
\tag{1}
\int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\, dx,
\end{equation}
e stai cercando di interpretarlo in termini di prodotto scalare nello spazio di funzioni \(L^2([-1, 1], \omega(x)\, dx)\) dove
\begin{equation}
\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation}
è la funzione peso di Chebychev. in questo caso l'osservazione che immagino tu faccia è corretta: detto
\begin{equation}
(f, g)_\omega=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\omega(x)\, dx,
\end{equation}
il prodotto scalare con peso di Chebyshev, l'integrale della formula (1) si può riscrivere come segue:
\begin{equation}\tag{1bis}
\int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=(x^4, 1)_\omega.
\end{equation}
Naturalmente questa osservazione non ti porta alcun beneficio per quanto riguarda il calcolo esplicito dell'integrale.
\begin{equation}
\tag{1}
\int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\, dx,
\end{equation}
e stai cercando di interpretarlo in termini di prodotto scalare nello spazio di funzioni \(L^2([-1, 1], \omega(x)\, dx)\) dove
\begin{equation}
\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation}
è la funzione peso di Chebychev. in questo caso l'osservazione che immagino tu faccia è corretta: detto
\begin{equation}
(f, g)_\omega=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\omega(x)\, dx,
\end{equation}
il prodotto scalare con peso di Chebyshev, l'integrale della formula (1) si può riscrivere come segue:
\begin{equation}\tag{1bis}
\int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=(x^4, 1)_\omega.
\end{equation}
Naturalmente questa osservazione non ti porta alcun beneficio per quanto riguarda il calcolo esplicito dell'integrale.
Hai ragione !!! ...devo imparare ad esprimermi con un linguaggio + tecnico !!! 
Cmq si...hai capito esattamente cosa intendevo dire !!!
La mia era una domanda per capire il concetto !!!...cmq la mia osservazione mi dice che posso usare la formula di quadratura di Gauss-Chebyshev. Costruite su $n$ nodi sono esatte per polinomi di grado $2n-1$ --> quindi per approssimare esattamente l'integrale (grado 4) mi servono 3 nodi.
I 3 nodi sono dati dalla formula
$t_i = cos((2i-1)/(2n)pi) $ con $1<=i<=n, n=3$
e i pesi
$w_j=pi/3$ con $j=1,2,3$
quindi l'integrale sarà
$I = int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}} dx = w_1*t^4_1 + w_2*t^4_2 + w_3*t^4_3 = ... = 3/8 pi$
Grazie 1000 per la disponibilità !!!
...devo imparare ad esprimermi con un linguaggio + tecnico !!! Cmq si...hai capito esattamente cosa intendevo dire !!!
La mia era una domanda per capire il concetto !!!...cmq la mia osservazione mi dice che posso usare la formula di quadratura di Gauss-Chebyshev. Costruite su $n$ nodi sono esatte per polinomi di grado $2n-1$ --> quindi per approssimare esattamente l'integrale (grado 4) mi servono 3 nodi.
I 3 nodi sono dati dalla formula
$t_i = cos((2i-1)/(2n)pi) $ con $1<=i<=n, n=3$
e i pesi
$w_j=pi/3$ con $j=1,2,3$
quindi l'integrale sarà
$I = int_{-1}^1 \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}} dx = w_1*t^4_1 + w_2*t^4_2 + w_3*t^4_3 = ... = 3/8 pi$
Grazie 1000 per la disponibilità !!!
Prego, figurati. Grazie a te per avermi fatto ripassare un pochino queste cose e auguri di buone feste!
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