Polinomi di Taylor (si, ancora quelli...)
Buongiorno a tutti, martedì mattina ho l'esame di Analisi 1, sò fare abbastanza bene gli integrali e me la cavo alla meno peggio con gli studi di funzione. Ho imparato, grazie al forum a risolvere i limiti con l'uso della formula di Taylor.
MA QUESTI ESERCIZI non mi riescono, non capisco cosa devo fare! Devo fare le derivate e sostituirle nella formula di Taylor e poi vedere il risultato? Devo considerare il monomio di grado maggiore? Che devo fare? Sono disperato, se qualcuno può spiegarmi facendomi proprio vedere praticamente come si fa (come mi hanno fatto vedere con i limiti-io sono fatto così, son zuccone se non vedo i passaggi non capisco-) mi farebbe davvero un piacere.
1)
Ad esempio qui ho exp(x^3). se pongo x=t la serie fermata al secondo grado sarebbe (1+t) giusto? quindi viene 1+x^3?
Centrato in x con 0 vuol dire che devo sostituire poi il valore di x con 0 al posto di x^3?le proprietà di crescenza e decrescenza lasciatele perdere son rimaste per sbaglio nell'immagine io voglio il polinomio.
2)
qui è la stessa bega di prima anzi peggio.
3)
idem
Per favore aiutatemi!!Grazie a chi mi risponde.
MA QUESTI ESERCIZI non mi riescono, non capisco cosa devo fare! Devo fare le derivate e sostituirle nella formula di Taylor e poi vedere il risultato? Devo considerare il monomio di grado maggiore? Che devo fare? Sono disperato, se qualcuno può spiegarmi facendomi proprio vedere praticamente come si fa (come mi hanno fatto vedere con i limiti-io sono fatto così, son zuccone se non vedo i passaggi non capisco-) mi farebbe davvero un piacere.
1)
Ad esempio qui ho exp(x^3). se pongo x=t la serie fermata al secondo grado sarebbe (1+t) giusto? quindi viene 1+x^3?
Centrato in x con 0 vuol dire che devo sostituire poi il valore di x con 0 al posto di x^3?le proprietà di crescenza e decrescenza lasciatele perdere son rimaste per sbaglio nell'immagine io voglio il polinomio.
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qui è la stessa bega di prima anzi peggio.
3)
idem
Per favore aiutatemi!!Grazie a chi mi risponde.
Risposte
Penso che il primo vada risolto così:
se hai una funzione $f(x)$ il suo sviluppo di MacLaurin in $x_0$ vale:
$f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + 1/2 f''(x_0)(x-x_0)^2 + 1/(3!) f'''(x-x_0)^3 + 1/(4!) f^(IV)(x_0)(x-x_0)^4$ ..... etc...
Se ho capito bene cosa chiede l'esercizio lo svolgimento dovrebbe essere questo.
se hai una funzione $f(x)$ il suo sviluppo di MacLaurin in $x_0$ vale:
$f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + 1/2 f''(x_0)(x-x_0)^2 + 1/(3!) f'''(x-x_0)^3 + 1/(4!) f^(IV)(x_0)(x-x_0)^4$ ..... etc...
Se ho capito bene cosa chiede l'esercizio lo svolgimento dovrebbe essere questo.
questa è la formula di Taylor. Ma come la applico? non penso che si debbano fare tutti questi conti, la prof alla lavagna (quando potevo frequentare,bei tempi) li faceva in 3 passaggi al massimo questi esercizi, usava la parte primaria o parte principale, nn mi ricordo bene.
cioè, ad esempio l'approssimazione centrata in 0 e^x^4 a lei gli veniva semplicemente (1+x^4).come mai?
ragazzi, non c'è proprio nessuno che può aiutarmi?
cioè, ad esempio l'approssimazione centrata in 0 e^x^4 a lei gli veniva semplicemente (1+x^4).come mai?
ragazzi, non c'è proprio nessuno che può aiutarmi?
ciao, ho postato proprio ieri riguardo alle proprieta' di sostituzione del polinomio di taylor:sono un po' un casino. E' vero che puoi sostituire ma devi ricordarti che se sviluppi ad esempio $e^t$ per $t->1$ al secondo ordine e poi ci sostituisci $x^3$ _non_ hai il polinomio all'ultimo ordine che ti appare. ad esempio se hai $(x^3 -1)^2$ come termine dello sviluppo non aspettarti di avere il polinomio di ordine $(x^3)^2=x^6$. infatti vale la proprieta' che: il polinomio di taylor grado n di una composizione $f$ $o$ $g$ e' la composizione del polinomi di taylor fino al grado n
secondo me quando hai funzioni composte e ti si chiede il polinomio arrestato ad un ordine basso conviene calcolarselo con la formula normale... se si supera la derivata seconda allora ha senso provare con la sostituzione
secondo me quando hai funzioni composte e ti si chiede il polinomio arrestato ad un ordine basso conviene calcolarselo con la formula normale... se si supera la derivata seconda allora ha senso provare con la sostituzione
ho fatto questo...
$f(x) = xe^(2x-1)$
$f(0) = 0$
$D[xe^(2x-1)] = e^(2x-1) + x*D[e^(2x-1)] = e^(2x-1)(2x+1)$ che in $x=0$ diventa $1/e$
$D[e^(2x-1)(2x+1)] = 2e^(2x-1)(2x+2) = 4/e$
$D[2e^(2x-1)(2x+2) ] = 12/e$ sempre per $x=0$
ricordandosi che $T_{n}f(x, 0) = \sum_{k=0}^n (f(0)^((k)) x^k)/(k!)$
ho $f(x) = x/e + 2x^2/e + 2x^3/e + o(x^3)$ per $x->0$
spero di non aver sbagliato i conti...
$f(x) = xe^(2x-1)$
$f(0) = 0$
$D[xe^(2x-1)] = e^(2x-1) + x*D[e^(2x-1)] = e^(2x-1)(2x+1)$ che in $x=0$ diventa $1/e$
$D[e^(2x-1)(2x+1)] = 2e^(2x-1)(2x+2) = 4/e$
$D[2e^(2x-1)(2x+2) ] = 12/e$ sempre per $x=0$
ricordandosi che $T_{n}f(x, 0) = \sum_{k=0}^n (f(0)^((k)) x^k)/(k!)$
ho $f(x) = x/e + 2x^2/e + 2x^3/e + o(x^3)$ per $x->0$
spero di non aver sbagliato i conti...
c' è un errore nella seconda derivata. a me la seconda derivata torna così.cmq ti ringrazio, a grandi linee ho capito il procedimento.cmq riposterò ancora statene certi.
4·x·^(2x-1)
4·x·^(2x-1)
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