Polinomi di Taylor, resto in forma di Lagrange
Buongiorno a tutti,
ho delle perplessità per quanto riguarda l'utilizzo dell'espressione del resto in forma di Lagrange quando devo fare esercizi su Taylor.
In particolare non ho capito cosa devo fare quando mi viene chiesto, ad esempio, di calcolare un certo f(x) con un errore minore di un errore dato; riporto un esercizio per guidare il ragionamento:
"Sia $f(x) = senx + cosx$. Calcolare $f(1/2)$ con un errore minore di $10^-3$."
Io pensavo di utilizzare il polinomio di Taylor per approssimare la funzione in modo da utilizzare il resto in forma di Lagrange che abbia un ordine in modo tale da farlo essere minore di $10^-3$ (so che il resto in forma di Lagrange è sempre di un ordine superiore rispetto al polinomio di Taylor, giusto?) Però per prima cosa non ho capito come fare a capire a che ordine devo arrivare, perchè se la formula è così: $R = [f^(m+1) (\xi)]/[(m+1)!] (x-x_0)^(m+1) $ e io so semplicemente che $\xi$ è un numero compreso fra $x$ e $x_0$ , come lo faccio a calcolare per vedere che è minore dell'errore che mi viene detto? E poi vorrei capire, in questo caso $1/2$ è il punto di partenza $x_0$ oppure il valore x? Io ho l'impressione che sia x, ma allora come faccio a sapere qual'è il punto di partenza?
Grazie in anticipo per le risposte!
Valentina
ho delle perplessità per quanto riguarda l'utilizzo dell'espressione del resto in forma di Lagrange quando devo fare esercizi su Taylor.
In particolare non ho capito cosa devo fare quando mi viene chiesto, ad esempio, di calcolare un certo f(x) con un errore minore di un errore dato; riporto un esercizio per guidare il ragionamento:
"Sia $f(x) = senx + cosx$. Calcolare $f(1/2)$ con un errore minore di $10^-3$."
Io pensavo di utilizzare il polinomio di Taylor per approssimare la funzione in modo da utilizzare il resto in forma di Lagrange che abbia un ordine in modo tale da farlo essere minore di $10^-3$ (so che il resto in forma di Lagrange è sempre di un ordine superiore rispetto al polinomio di Taylor, giusto?) Però per prima cosa non ho capito come fare a capire a che ordine devo arrivare, perchè se la formula è così: $R = [f^(m+1) (\xi)]/[(m+1)!] (x-x_0)^(m+1) $ e io so semplicemente che $\xi$ è un numero compreso fra $x$ e $x_0$ , come lo faccio a calcolare per vedere che è minore dell'errore che mi viene detto? E poi vorrei capire, in questo caso $1/2$ è il punto di partenza $x_0$ oppure il valore x? Io ho l'impressione che sia x, ma allora come faccio a sapere qual'è il punto di partenza?
Grazie in anticipo per le risposte!
Valentina
Risposte
Diciamo che il tuo sviluppo \(f(x)=P_N(x;x_0)+\text{o}((x-x_o)^N)\) valga in un intorno \(I:=[x_0-r,x_0+r]\) di \(x_0\) d'ampiezza \(r>0\) contenente \(x\) (quindi \(r\geq |x-x_0|\)); allora è:
\[
|f(x)-P_N(x;x_0)|\leq \frac{|f^{(N+1)} (\xi_{x,N,x_0})|}{(N+1)!}\ |x-x_0|^{N+1}\leq \frac{\sup_I |f^{(N+1)}|}{(N+1)!}\ r^{N+1}\; .
\]
Quindi se vuoi che il tuo errore sia minore di una certa soglia \(\varepsilon\) occorre scegliere \(r\) in modo che:
\[
\begin{cases}
r\geq |x-x_0| \\
\frac{\sup_{[x_0-r,x_0+r]} |f^{(N+1)}|}{(N+1)!}\ r^{N+1} <\varepsilon \; .
\end{cases}
\]
Nel caso in esame è comodo scegliere \(x_0=0\) ed \(x=1/2\); dato che le derivate di \(f\) sono limitare in \(\mathbb{R}\) con \(\sup_{\mathbb{R}} |f^{(k)}|\leq 2\), basta risolvere le disequazioni:
\[
\begin{cases}
r\geq \frac{1}{2} \\
\frac{2}{(N+1)!}\ r^{N+1} <10^{-3} \; .
\end{cases}
\]
Ad esempio, puoi prendere \(r=3/4\geq 1/2\) ed in tal modo ti rimane da scegliere \(N\) in modo che:
\[
(N+1)!>2000\ \left(\frac{3}{4}\right)^{N+1}
\]
(un tale \(N\) esiste perché la successione di termine generale \((N+1)!\) è infinita, mentre quella di termine generale \(2000\ (3/4)^{N+1}\) è infinitesima) e, facendo un po' di prove numeriche, si vede che già \(N=5\) va bene.
Ed, in corrispondenza di tale valore di \(N\) si trova:
\[
f(1/2) \approx 1.35701 \qquad \text{e}\qquad P_5(x;0)\approx 1.35703 \; .
\]
\[
|f(x)-P_N(x;x_0)|\leq \frac{|f^{(N+1)} (\xi_{x,N,x_0})|}{(N+1)!}\ |x-x_0|^{N+1}\leq \frac{\sup_I |f^{(N+1)}|}{(N+1)!}\ r^{N+1}\; .
\]
Quindi se vuoi che il tuo errore sia minore di una certa soglia \(\varepsilon\) occorre scegliere \(r\) in modo che:
\[
\begin{cases}
r\geq |x-x_0| \\
\frac{\sup_{[x_0-r,x_0+r]} |f^{(N+1)}|}{(N+1)!}\ r^{N+1} <\varepsilon \; .
\end{cases}
\]
Nel caso in esame è comodo scegliere \(x_0=0\) ed \(x=1/2\); dato che le derivate di \(f\) sono limitare in \(\mathbb{R}\) con \(\sup_{\mathbb{R}} |f^{(k)}|\leq 2\), basta risolvere le disequazioni:
\[
\begin{cases}
r\geq \frac{1}{2} \\
\frac{2}{(N+1)!}\ r^{N+1} <10^{-3} \; .
\end{cases}
\]
Ad esempio, puoi prendere \(r=3/4\geq 1/2\) ed in tal modo ti rimane da scegliere \(N\) in modo che:
\[
(N+1)!>2000\ \left(\frac{3}{4}\right)^{N+1}
\]
(un tale \(N\) esiste perché la successione di termine generale \((N+1)!\) è infinita, mentre quella di termine generale \(2000\ (3/4)^{N+1}\) è infinitesima) e, facendo un po' di prove numeriche, si vede che già \(N=5\) va bene.
Ed, in corrispondenza di tale valore di \(N\) si trova:
\[
f(1/2) \approx 1.35701 \qquad \text{e}\qquad P_5(x;0)\approx 1.35703 \; .
\]
Scusami, ma perchè occorre scegliere un intorno I? e che cosa sarebbe r? (chiedo scusa ma sono molto confusa 
)
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