Polinomi di Taylor
Salve ragazzi, ho un problemino con i polinomi di taylor e la loro applicazione per il calcolo del limite.
Ho studiato la teoria e non ho avuto grosse difficoltà a comprenderla, ma il libro dalla teoria passa direttamente
alla sua applicazione per risolvere i limiti, cosa che io non ho capito!
Qualche anima pia sarebbe in grado di spiegarmi come fare o di indirizzarmi a qualche materiale che spiega in
maniera semplice come fare?
Per esempio, per questo esercizio:
Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
sapendo gli sviluppi notevoli di taylor, come calcolo il limite?
Scusate l'ignoranza..
Grazie,
Domenico
Ho studiato la teoria e non ho avuto grosse difficoltà a comprenderla, ma il libro dalla teoria passa direttamente
alla sua applicazione per risolvere i limiti, cosa che io non ho capito!
Qualche anima pia sarebbe in grado di spiegarmi come fare o di indirizzarmi a qualche materiale che spiega in
maniera semplice come fare?
Per esempio, per questo esercizio:
Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite
$lim_{x->0} (sin x/x)^(1/(x sin x))$
sapendo gli sviluppi notevoli di taylor, come calcolo il limite?
Scusate l'ignoranza..
Grazie,
Domenico
Risposte
Ciao, ti dovrebbe venire $e^(-1/6)$
Si tratta di una forma indeterminata del tipo $1^(oo)$.
Ricordando che $[f(x)]^[g(x)] = e^[g(x)*ln[f(x)]$ conviene trasformare il limite così:
$lim_(x rarr 0)e^[(1/(xsinx))*ln(sinx/x)]$ che è del tipo $ [oo*0]$.
Usiamo ora lo sviluppo di Taylor di $ sin x = x-x^3/6+o(x^3)$.
Per la parte $1/(x*sinx) $ è sufficinete fermarsi al primo termine , approssimare cioè l'espressione con $1/x^2$ .
Per il termine invece $ln(sinx/x)$ è necessario arrivare nello sviluppo fino al termine in $x^3$(altrimenti si otterebbe $ln1=0$ )e si ha quindi $ ln(1-x^2/6)$.
In conclusione come esponente di $e $ abbiamo : $ (1/x^2)*ln(1-x^2/6)$; poichè $x rarr 0 , ln(1-x^2/6) rarr -x^2/6$.
Pertanto il limite è $lim_(x rarr0) e^[(-x^2/6)/x^2]$ =$e^(-1/6)$.
Ricordando che $[f(x)]^[g(x)] = e^[g(x)*ln[f(x)]$ conviene trasformare il limite così:
$lim_(x rarr 0)e^[(1/(xsinx))*ln(sinx/x)]$ che è del tipo $ [oo*0]$.
Usiamo ora lo sviluppo di Taylor di $ sin x = x-x^3/6+o(x^3)$.
Per la parte $1/(x*sinx) $ è sufficinete fermarsi al primo termine , approssimare cioè l'espressione con $1/x^2$ .
Per il termine invece $ln(sinx/x)$ è necessario arrivare nello sviluppo fino al termine in $x^3$(altrimenti si otterebbe $ln1=0$ )e si ha quindi $ ln(1-x^2/6)$.
In conclusione come esponente di $e $ abbiamo : $ (1/x^2)*ln(1-x^2/6)$; poichè $x rarr 0 , ln(1-x^2/6) rarr -x^2/6$.
Pertanto il limite è $lim_(x rarr0) e^[(-x^2/6)/x^2]$ =$e^(-1/6)$.
"Camillo":
Si tratta di una forma indeterminata del tipo $1^(oo)$.
Ricordando che $[f(x)]^[g(x)] = e^[g(x)*ln[f(x)]$ conviene trasformare il limite così:
$lim_(x rarr 0)e^[(1/(xsinx))*ln(sinx/x)]$ che è del tipo $ [oo*0]$.
Come mai conviene fare questa trasformazione?
Nella forma precedente sarebbe stato più difficile risolvere il limite?
Grazie
Domenico
Sì, più difficile, se non impossibile .
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