Polinomi di Taylor...

[celeste4]

Scusate se vi chiedo una cosa così banale...ma non sono sicura di come sviluppare
$(1+3x)^(1/3)$...
so lo sviluppo di
$(1+x)^alpha$ ma il coefficiente binomiale non posso calcolarelo se $alpha=1/3$...o si può fare?

[amel3]

Si tratta semplicemente di un estensione del concetto di coefficiente binomiale ai numeri reali, cioè:
$forall alpha in RR$:
$((alpha), (0))=1$
$((alpha), (n))= (alpha (alpha -1) ... (alpha - n +1))/(n!) \ \ (n in NN)$
In particolare, tu devi usare lo sviluppo di Taylor:
$(1+x)^(alpha)=sum_(n=0)^(+oo) \ ((alpha), (n)) \ x^n$

Note:
1) Il raggio di convergenza è 1.
2) Io ho mostrato l'intero sviluppo in serie, è chiaro che, a seconda delle necessità, si potrà scrivere lo sviluppo opportunamente arrestato con il suo "bravo" resto (Peano, Lagrange...)

[franced]

Il polinomio di Taylor in $x=0$ è

$p(x) = 1 + x - x^2 + \frac{5}{3} x^3 - \frac{10}{3} x^4 + \frac{22}{3} x^5 + ...$

il raggio di convergenza non mi sembra però pari a $1$.

Francesco Daddi

[celeste4]

Ok, grazie dell'aiuto...mi espliciti il calcolo del coefficiente di $x^2$? ancora non capisco come si possa calcolare il coefficiente binomiale con un numero non naturale (e per giunta minore a 1!)...scusate la mia ottusità congenita...

[franced]

Se vuoi il coefficiente di $x^2$ ti puoi anche calcolare la derivata seconda di $f(x)$.

Francesco Daddi

[franced]

In ogni caso ti chiarisco come si calcolano i coeff. binomiali quando ci sono le frazioni;
per esempio:

$((\frac{1}{3}),(3)) = \frac{\frac{1}{3} * ( \frac{1}{3} - 1) * (\frac{1}{3} - 2) }{3!} = \frac{5}{81}$.

Francesco Daddi

[franced]

Nel nostro caso si ha:

$(1+3x)^\alpha = \sum_{n=0} ((\alpha),(n)) (3x)^n$

per il coefficiente di $x^2$ trovi ($\alpha = \frac{1}{3}$):

$((\frac{1}{3}),(2)) * 3^2$

e quindi:

$ \frac{\frac{1}{3} * ( \frac{1}{3} -1)}{2!} * 9 = - \frac{1}{9} * 9 = -1$.

Francesco Daddi

[celeste4]

"franced":Nel nostro caso si ha:

$(1+3x)^\alpha = \sum_{n=0} ((\alpha),(n)) (3x)^n$

per il coefficiente di $x^2$ trovi ($\alpha = \frac{1}{3}$):

$((\frac{1}{3}),(2)) * 3^2$

e quindi:

$ \frac{\frac{1}{3} * ( \frac{1}{3} -1)}{2!} * 9 = - \frac{1}{9} * 9 = -1$.

Francesco Daddi

Ok, grazie