Polinomi di legendre
come si sviluppa la funzione f(x) =0 se x<0 e f(x)=x se x>o in polinomi di legendre??vi prego aiuto!!!
Risposte
Probabilmente si tratta solo di fare un po' di conti.
Se ho capito bene vuoi scrivere una cosa del genere:
(*) [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n P_n(x)$[/tex]
in cui [tex]$P_n(x)$[/tex] è il polinomio di Legendre di grado [tex]$n$[/tex], il quale si esprime come:
[tex]$P_n(x)=\frac{1}{2^n\ n!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} [(x^2-1)^n]$[/tex].
Ovviamente l'espressione in serie (se esiste) sarà valida in un intervallo limitato, diciamo [tex]$[-1,1]$[/tex].
Per trovare il coefficiente [tex]$a_k$[/tex] si segue lo stesso procedimento che si usa sempre per l'espansione in serie di funzioni ortogonali: ovvero basta moltiplicare m.a.m. la (*) per [tex]$P_k(x)$[/tex] ed integrare su [tex]$[-1,1]$[/tex] per avere:
[tex]$\int_{-1}^1 f(x)\ P_k(x)\ \text{d} x =\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ \int_{-1}^1 P_n(x)\ P_k(x) \ \text{d} x = \frac{2}{2k+1}\ a_k$[/tex]
grazie alla proprietà di ortogonalità (cioè [tex]$\int_{-1}^1 P_n(x)\ P_k(x)\ \text{d} x =\frac{2}{2k+1} \ \delta_n^k$[/tex], ove [tex]$\delta_n^k$[/tex] è il simbolo di Kronecker), quindi:
[tex]$a_k=\frac{2k+1}{2} \ \int_{-1}^1 f(x)\ P_k(x) \ \text{d} x =\frac{2k+1}{2} \ \int_0^1 x\ P_k(x)\ \text{d} x$[/tex].
Ora si tratta di calcolare gli integrali e vedere cosa esce fuori; visto che ogni polinomio di esprime come derivata si può tantare con un'integrazione per parti con fattore differenziale [tex]$P_k(x)$[/tex] e fattore finito [tex]$x$[/tex].
Prova un po' e vedi che ne riesci a tirar fuori...
Se ho capito bene vuoi scrivere una cosa del genere:
(*) [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n P_n(x)$[/tex]
in cui [tex]$P_n(x)$[/tex] è il polinomio di Legendre di grado [tex]$n$[/tex], il quale si esprime come:
[tex]$P_n(x)=\frac{1}{2^n\ n!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} [(x^2-1)^n]$[/tex].
Ovviamente l'espressione in serie (se esiste) sarà valida in un intervallo limitato, diciamo [tex]$[-1,1]$[/tex].
Per trovare il coefficiente [tex]$a_k$[/tex] si segue lo stesso procedimento che si usa sempre per l'espansione in serie di funzioni ortogonali: ovvero basta moltiplicare m.a.m. la (*) per [tex]$P_k(x)$[/tex] ed integrare su [tex]$[-1,1]$[/tex] per avere:
[tex]$\int_{-1}^1 f(x)\ P_k(x)\ \text{d} x =\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ \int_{-1}^1 P_n(x)\ P_k(x) \ \text{d} x = \frac{2}{2k+1}\ a_k$[/tex]
grazie alla proprietà di ortogonalità (cioè [tex]$\int_{-1}^1 P_n(x)\ P_k(x)\ \text{d} x =\frac{2}{2k+1} \ \delta_n^k$[/tex], ove [tex]$\delta_n^k$[/tex] è il simbolo di Kronecker), quindi:
[tex]$a_k=\frac{2k+1}{2} \ \int_{-1}^1 f(x)\ P_k(x) \ \text{d} x =\frac{2k+1}{2} \ \int_0^1 x\ P_k(x)\ \text{d} x$[/tex].
Ora si tratta di calcolare gli integrali e vedere cosa esce fuori; visto che ogni polinomio di esprime come derivata si può tantare con un'integrazione per parti con fattore differenziale [tex]$P_k(x)$[/tex] e fattore finito [tex]$x$[/tex].
Prova un po' e vedi che ne riesci a tirar fuori...
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