Polinomi di laguerre

[kaimano1]

ho una identità che non riesco a dimostrare:
$L_(k+1)=(2k+1-\rho)L_k -k^2L_(k-1)$
il testo dice che si ricava dalla funzione generatrice $e^((-\rho s)/(1-s))/(1-s)$ derivando rispetto a s sapendo che $e^((-\rho s)/(1-s))/(1-s)=sum_(k=0)^\infty (L_k(\rho))/(k!) s^k$ L sono i polinomi di laguerre
Se derivo la funzione generatrice , raccogliendo il termine comune $e^((-\rho s)/(1-s))/(1-s)$ e portando tutto dentro il segno di sommatoria viene
$sum_(k=0)^\infty (1/(1-s) - (\rho s)/(1-s)^2)(L_k(\rho))/(k!) s^k$ osservando come il testo (quantum mechanics aut. L.Shiff) suggeriva di fare per i polinome di hermite.
Ma dopo diversi tentativi sono rimasto al palo! avete idee

grazie

[zerolucat]

io ho provato a lavorare così:
assumo $s$ diverso da uno e moltiplico per $1-s$ l'identità

$e^((-rho s)/(1-s))/(1-s)=sum_(k=0)^infty (L_k(rho))/(k!) s^k$ (1)

$ e^((-rho s)/(1-s))=sum_(k=0)^infty (L_k(rho))/(k!) s^k(1-s) $

derivo rispetto a $s$ ambo i membri dell'eguaglianza

$ -rho e^((-rho s)/(1-s))/(1-s)=sum_(k=0)^infty (L_(k+1)(rho))/(k!) s^k - sum_(k=0)^infty ((k+1)L_(k)(rho))/(k!) s^k $

uso la (1)

$ -rho sum_(k=0)^infty (L_(k)(rho))/(k!) s^k=sum_(k=0)^infty (L_(k+1)(rho))/(k!) s^k - sum_(k=0)^infty ((k+1)L_(k)(rho))/(k!) s^k $

eguaglio le potenze in $s$ si ha che i monomi in $s$ formano un base, pertanto $s$ non può essere il vettore nullo, quindi si deve verificare che

$ -rho L_(k)(rho)=L_(k+1)(rho) - (k+1)L_(k)(rho) $

da questa segue che
$ L_(k+1)(rho)= (2k+1-rho )L_(k)(rho) -k L_(k)(rho) $
che la riscrivo come
$ L_(k)(rho)= (k-rho )L_(k-1)(rho) $

allora

$ L_(k+1)(rho)= (2k+1-rho )L_(k)(rho) -k^2 L_(k-1)(rho) +rho k L_(k-1)(rho) $

comunque come avrai notato c'è un termine in più ... forse sbaglio da qualche parte, spero di esserti stato d'aiuto!

[kaimano1]

credo che quando derivi per s al primo membro ottieni
$-e^((-\rho s)/(1-s))((\rho s)/(1-s)^2+\rho /(1-s))$
perciò penso che il termine in più sia dovuto a quello;
ad ogni modo penso di aver capito l'idea che ci sta sotto....ora cerco di risolvere e poi posto...

[kaimano1]

Allora:
Tenendo presente il termine $e^((-\rho s)/(1-s))/(1-s)^2 s\rho = \rho s/(1-s) e^((-\rho s)/(1-s))/(1-s) = sum_(k=0)^\infty (L_k')/(k!)s^k$ N.B. l'apostrofo sta per derivata

e uguagliando le potenze in s come hai fatto tu:
$-\rho (L_k(\rho)-L_k'(\rho))=L_(k+1)(\rho)-(k+1)L_k(\rho)$
$L_(k+1)(\rho)=(k+1)L_k(\rho)-\rho(L_k(\rho)-L_k'(\rho))$
$=(2k+1-\rho)L_k(\rho)-kL_k(\rho)+\rho L_k'(\rho)$

quindi riordinando gli indici:
$L_k(\rho)=(k-\rho)L_(k-1)(\rho)+\rho L_(k-1)'(\rho)$

Allora andando a riesprimere $L_(k+1)$ troviamo:
$L_(k+1)(\rho)=(2k +1 -\rho)L_k(\rho)-k((k-\rho)L_(k-1)(\rho)+\rhoL_(k-1)'(\rho)) + \rhoL_k'$
$ = (2k+1-\rho)L_k(\rho)-k^2L_(k-1)(\rho)+k\rho L_(k-1)(\rho)-k \rho L_(k-1)'(\rho)+\rho L_k'(\rho)$
Utilizzando l'identità (che mi ha fatto impazzire anch'essa nel ricavarla...):
$L_k'-kL_(k-1)'=-kL_(k-1)$ si vede che gli ultimi tre termini si cancellano e rimane l'identità cercata........

Un'ultima cosa:
Sia lo Shiff che il Konishi 2 testi che riportano praticamente gli stessi passaggi dicono che le due relazioni si trovano facilmente.....
ora delle due una: o c'è un modo più spedito di ricavarsi le identità cercate (probabilità circa 1) oppure volevano far sentire un idiota il lettore (probabilità circa zero). Ad ogni modo grazie a zerolucat perchè senza quel trucchetto finale di riscalare gli indici e riscrivere la relazione ad indici nuovamente incrementati, cosa che non mi sarebbe MAI E DICO MAI passata per la testa sarei ancora qui a imprecare per la giornata persa!
Perdona la mia curiosità ma era tutta farina del tuo sacco o l'hai pescata da qualche testo o esercizio svolto?

[zerolucat]

"kaimano":
Ad ogni modo grazie a zerolucat perchè senza quel trucchetto finale di riscalare gli indici e riscrivere la relazione ad indici nuovamente incrementati, cosa che non mi sarebbe MAI E DICO MAI passata per la testa sarei ancora qui a imprecare per la giornata persa!
Perdona la mia curiosità ma era tutta farina del tuo sacco o l'hai pescata da qualche testo o esercizio svolto?

di niente, è stato bello mettere alla prova le proprie capacità;per rispondere la tua domanda di curiosità, sono cose che ho imparato a dei corsi, per esempio abbiamo fatto qualcosa del genere al corso di metodi matematici avanzati...
comunque perdona la mia ignoranza, ma non capisco cosa intendi con

$L_k'$

cioè, scrivi che l'apostrofo sta per derivata, ma rispetto a quale variabile? Suppongo rispetto a $s$. Ma $L_k(rho)$ non dovrebbe essere funzione solo di $rho$?

[zerolucat]

P.S.
Questo Schiff non mi sembra un buon libro, è troppo sintetico e inoltre ho notato che non nomina nemmeno la serie ipergeometrica confluente. Secondo me faresti meglio a dare un'occhiata al Landau, meccanica quantistica non relativistiva, e una volta che ci sei anche al Cohen-Tannoudji, (non mi ricordo se il primo o il secondo volume) Quantum Mechanics, li il problema dell'atomo di idrogeno era affrontato in maniera molto chiara e dettagliata.

Spero di esserti stato d'aiuto. Buono studio.

[kaimano1]

$L_k(\rho)=1/(2\pi i) int_c e^((-\rho s)/(1-s))/((1-s)s^(k+1))ds$ dove c sarebbe la circonferenza di raggio < 1 centrato nell'origine e soluzione della ODE di Laguerre
quindi $L_k(\rho)' = -1/(2\pi i) int_c e^((-\rho s)/(1-s))/((1-s)^2 s^k)ds$ dove la derivata è rispetto $\rho$ eseguita prima dell'integrale;

In realtà ero andato sullo Shiff solo perchè ero curioso di vedere come veniva calcolata la costante di normalizzazione della funzione d'onda: poichè quasi tutti i libri te la schiaffano senza giustificazione sul Griffith veniva citato espressamente che nello Shiff c'era una spiegazione più dettagliata; in particolare volevo capire dove spuntava il raggio di bohr alla meno 3/2. Poi ho dato una guardata ai polinomi di Laguerre già che c'ero e mi è caduto l'occhio su quelle due identità che vengono ripetute pari pari sul Paffuti-Konishi. Da li ho speso tutta la mattina e parte del pomeriggio a scrivere schifezze = una giornata pessima.....

ciao