Poligonale in $R^n$
Buongiorno,
Proposizione:
In $R^n$ con la distanza Euclidea, sia $A$ un aperto connesso. Allora, comunque scelti $x$ e $y$ in $A$, esiste una poligonale interamente contenuta in $A$, con lati paralleli agli assi e congiungente $x$ e $y$.
Sul libricino del profe questa proposizione è un po' buttata lì così senza dimostrazione. Propone però di trovare un esempio concreto per spiegare perché è fondamentale che $A$ sia aperto.
Ci ho pensato per un po' di giorni e ho cercato un po' su internet e ci sono varie dimostrazioni, ma non riesco comunque a capire come mai da un esempio possa capire che $A$ deve essere aperto.
Io ho provato in $R^2$ con varie forme grafiche, ma nulla fa trasparire come dalla definizione sopra riportata io possa capire che $A$ deve essere aperto.
Grazie per l'aiuto.
Proposizione:
In $R^n$ con la distanza Euclidea, sia $A$ un aperto connesso. Allora, comunque scelti $x$ e $y$ in $A$, esiste una poligonale interamente contenuta in $A$, con lati paralleli agli assi e congiungente $x$ e $y$.
Sul libricino del profe questa proposizione è un po' buttata lì così senza dimostrazione. Propone però di trovare un esempio concreto per spiegare perché è fondamentale che $A$ sia aperto.
Ci ho pensato per un po' di giorni e ho cercato un po' su internet e ci sono varie dimostrazioni, ma non riesco comunque a capire come mai da un esempio possa capire che $A$ deve essere aperto.
Io ho provato in $R^2$ con varie forme grafiche, ma nulla fa trasparire come dalla definizione sopra riportata io possa capire che $A$ deve essere aperto.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Prendi una circonferenza in $RR^2$, che è un insieme connesso ma non è aperto. Come fai a connettere due punti di una circonferenza con una poligonale?
Grazie mille, non ho più guardato il forum. Ciao Alberto
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