Poli di una funzione

[ukemux]

Ho la seguente funzione
$\frac{(4z^2-\pi^2)sinz}{z^3cos^2z}$
Devo calcolarne i poli in una regione tale che $abs(z)<2$ quindi in un cerchio centrato nell'origine del piano complesso e di raggio $2$. In tale regione gli zeri al denominatore risultano essere in $0$ con molteplicità $3$ e in $\pm \frac{\pi}{2}$ con molteplicità $2$. Ma lo zero in $0$ annulla il numeratore, per cui il polo in zero risulterà del secondo ordine (e non del terzo) e i poli in $\pm \frac{\pi}{2}$ risulteranno del primo ordine (e non del secondo).

Ecco, sicuramente sto sbagliando qualcosa.

[ukemux]

UP

[gugo82]

Tutto giusto, come si può verficare con un semplice calcolo.
Ad esempio, per verificare che il polo in \(\pi/2\) è del primo ordine occorre e basta mostrare che il limite:
\[
\lim_{z\to \frac{\pi}{2}} \left( z-\frac{\pi}{2}\right)\ f(z)
\]
esiste finito e non nullo... E questo è proprio il caso (come si vede usando un po' d'algebra ed un limite notevolissimo).
Analogamente, per mostrare che \(0\) è un polo del secondo ordine occorre e basta provare che il limite:
\[
\lim_{z\to 0} z^2\ f(z)
\]
esiste finito e non nullo... Ed è proprio questo il caso (come si vede usando un limite notevolissimo).
Quindi OK.