Poinomio di taylor

[francicko]

Esistono funzioni derivabili che abbiano come polinomio di taylor la serie x-x^3/3!+x^5/5!-..., cioè il polinomio di taylor di sinx, ma che non vengano approssimate fedelmente da tale polinomio, anzi tale polinomio fallisce in maniera evidente?

[Studente Anonimo]

Dipende da cosa intendi con "approssimate fedelmente".

Considera la funzione

[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x):= \begin{cases} -1 & se \; x < -\frac{\pi}{2} \\ \sin x & se \; |x|\le \frac{\pi}{2} \\ 1 & se \; x > \frac{\pi}{2} \end{cases} \; .\\[/math]

Trattasi di una funzione

[math]C^1(\mathbb{R})[/math]

che, rispetto a

[math]\sin x[/math]

, ha gli stessi polinomi di Taylor

[math]p_n(x)[/math]

centrati in

[math]x=0[/math]

, di ogni ordine; al di fuori dell'intervallo

[math]\left[-\frac{\pi}{2}, \; \frac{\pi}{2}\right][/math]

, per
esempio per

[math]x=\pi[/math]

, non è vero che fissato

[math]\epsilon > 0[/math]

, esiste un

[math]n[/math]

sufficientemente
grande tale che [math]\small \left|f(\pi)-p_n(\pi)\right|