Poblema nel calcolo di uno studio di funzione
Ciao a tutti! 
Ho difficolta' a calcolare il segno di una funzione e volevo sapere se qualcuno puo' darmi consigli su come comportarmi con esercizi di questo tipo! La funzione e' : y = $ -(1/x)+log(x/(x+3)) $
Grazie mille in anticipo!
Ho difficolta' a calcolare il segno di una funzione e volevo sapere se qualcuno puo' darmi consigli su come comportarmi con esercizi di questo tipo! La funzione e' : y = $ -(1/x)+log(x/(x+3)) $
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Tentativi tuoi?
[xdom="gugo82"]Ti chiedo la cortesia di leggere il regolamento (in particolare 1.2-1.5 e sezione 3) e questo avviso, e di modificare di conseguenza il tuo modo di postare.
Inoltre, elimina il "tutto maiuscolo" dal titolo.
Grazie.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Ti chiedo la cortesia di leggere il regolamento (in particolare 1.2-1.5 e sezione 3) e questo avviso, e di modificare di conseguenza il tuo modo di postare.
Inoltre, elimina il "tutto maiuscolo" dal titolo.
Grazie.[/xdom]
Ho posto y > 0 quindi : $ -(1/x)+ log(x/(x+3)) > 0 $ poi ho provato con un confronto grafico quindi : $ log(x/(x+3)) > (1/x) $
e qui mi blocco...
e qui mi blocco...
Se le disegni ti accorgi subito quando la funzione $log(\frac{x}{x+3})$ sta sopra, quindi maggiore, a $\frac{1}{x}$. Se non sei sicuro del tuo grafico, scaricati geogebra è un programma per disegnare grafici di funzioni.
Ho disegnato i grafici utilizzando wolfram alpha , ma per x > 0 il logaritmo sta sempre sotto a $ 1/x $ .Quindi in quel caso la funzione e' negativa?
Dato che la disequazione:
\[
\log \frac{x}{x+3}>\frac{1}{x}
\]
non si risolve elementarmente, lasciar perdere lo studio del segno a questo punto male non fa.
Passando al calcolo della derivata prima ed allo studio della monotònia trovi:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x+3}{x} \frac{3}{(x+3)^2} = \frac{1}{x^2 } + \frac{3}{x(x+3)} = \frac{4x+3}{x^2(x+3)}
\]
che è positiva per \(x<-3\) oppure \(x>-3/4\); pertanto la funzione assegnata è strettamente crescente per \(x<-3\) e per \(x>0\), cioé cresce strettamente in ogni intervallo del suo dominio.
Usando i teoremi sui limiti delle funzioni monotòne si può dire quanto segue.
Dato che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 = \sup_{x>0} f(x)\; ,
\]
hai necessariamente \(f(x)<0\) per \(x>0\); analogamente, dato che:
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0 = \inf_{x<-3} f(x)\; ,
\]
hai necessariamente \(f(x)>0\) per \(x<-3\).
Ed ecco che lo studio del segno viene fuori dalla monotònia e dai teoremi sui limiti.
\[
\log \frac{x}{x+3}>\frac{1}{x}
\]
non si risolve elementarmente, lasciar perdere lo studio del segno a questo punto male non fa.
Passando al calcolo della derivata prima ed allo studio della monotònia trovi:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{x^2} + \frac{x+3}{x} \frac{3}{(x+3)^2} = \frac{1}{x^2 } + \frac{3}{x(x+3)} = \frac{4x+3}{x^2(x+3)}
\]
che è positiva per \(x<-3\) oppure \(x>-3/4\); pertanto la funzione assegnata è strettamente crescente per \(x<-3\) e per \(x>0\), cioé cresce strettamente in ogni intervallo del suo dominio.
Usando i teoremi sui limiti delle funzioni monotòne si può dire quanto segue.
Dato che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 = \sup_{x>0} f(x)\; ,
\]
hai necessariamente \(f(x)<0\) per \(x>0\); analogamente, dato che:
\[
\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0 = \inf_{x<-3} f(x)\; ,
\]
hai necessariamente \(f(x)>0\) per \(x<-3\).
Ed ecco che lo studio del segno viene fuori dalla monotònia e dai teoremi sui limiti.
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