Please controllo
la prof ha dato il seguente esercizio "per i più bravi"; spero che qualcuno possa controllarmi la soluzione.. grazie..
stabilire, al variare di x in [-2,2] dei reali, il carattere della seguente serie:
innanzi tutto la serie è a termini positivi.
per x>0 il termine generico a(k) tende a +00, quindi la serie diverge.
per x<0 utilizzo il criterio della radice, poichè il limite viene 0, la serie converge.
per x=0 la serie si riduce a 1/k! che è convergente.
mi pare corretto, l'unico dubbio è sull'utilizzo del criterio della radice, in quanto il limite non è molto semplice.
grazie.
ciao, ubermensch
stabilire, al variare di x in [-2,2] dei reali, il carattere della seguente serie:
(k+x)^(kx)
----------- k>=3
k!
innanzi tutto la serie è a termini positivi.
per x>0 il termine generico a(k) tende a +00, quindi la serie diverge.
per x<0 utilizzo il criterio della radice, poichè il limite viene 0, la serie converge.
per x=0 la serie si riduce a 1/k! che è convergente.
mi pare corretto, l'unico dubbio è sull'utilizzo del criterio della radice, in quanto il limite non è molto semplice.
grazie.
ciao, ubermensch
Risposte
citazione:
per x>0 il termine generico a(k) tende a +00, quindi la serie diverge.
Sicuro?
Ho utilizzato il criterio del rapporto (anche questo
non proprio semplicissimo) con gli stessi tuoi
risultati.
karl.
non proprio semplicissimo) con gli stessi tuoi
risultati.
karl.
per pachito: in realtà non ho fatto nessun calcolo, ma il termine principale del numeratore è k^k che è "più forte" di k!...forse mi sbaglio?! troppo intuito poco rigore?!
per Karl: ti riferisci solo al caso x<0 o ti vengono gli stessi miei risultati in tutti i casi?
per Karl: ti riferisci solo al caso x<0 o ti vengono gli stessi miei risultati in tutti i casi?
In tutti e tre i casi ,anche se per x>=0 non e'
necessario un particolare criterio di convergenza
o meno ( come del resto hai fatto tu).
karl.
necessario un particolare criterio di convergenza
o meno ( come del resto hai fatto tu).
karl.
Provate a fare il criterio del rapporto con x=1/2...
k^k è più forte di k!, ma mica tanto... Conosci la formula di Stirling?
k^(k/2) non è più forte di k!
Buona serata.
k^k è più forte di k!, ma mica tanto... Conosci la formula di Stirling?
k^(k/2) non è più forte di k!
Buona serata.
non conosco la formula di Stirling. effettivamente mi era venuto anche a me il dubbio che, essendoci la x, potrebbero sorgere problemi.. ma allora come risolverli?
buona serata a te..
ciao, ubermensch
buona serata a te..
ciao, ubermensch
Io avrei risolto così:
per x<0 è sufficiente notare che (k+x)^(kx)< 1 , maggiorare il numeratore con 1 e ci si riduce ad una serie 1/k! che è convergente.
per x=0 la serie si riduce a 1/k! che è convergente.
per x>0 utilizzo il criterio del rapporto e ottengo:
(k+1+x)^[(k+1)x]/[(k+1)(k+x)^kx]
Ora non so come avete calcolato il
, ma a me viene:
per x>1
kn -> +inf
per x=1kn -> e
per x<1kn -> 0
dunque applicando il criterio del rapporto direi che la serie converge in [-2,1).
P.S.
La formula di Stirling è una formula molto nota (e utile) per studiare l'andamento del fattoriale per k molto grandi. Essa afferma che:
n! va come n^n*e^-n*
(2
n)
cioè[(k/ê)^k·k] / k! = 1/(2)
la formula di Stirling per l'approssimazione del fattoriale è molto utile in numerose situazioni di calcoli probabilistici e statistici. Ad esempio, con tale formula,
per 10! invece del valore corretto 3628800 si ottiene 3598697 con un errore dell'otto per mille;
per 100! si ottiene un errore dell'otto per diecimila;
per 1000! si ottiene un errore dell'otto per centomila.
Se vuoi sapere come si è ricavata questa formula vai a http://www.science.unitn.it/~probab/Materiale/mat2/mat2.html
per x<0 è sufficiente notare che (k+x)^(kx)< 1 , maggiorare il numeratore con 1 e ci si riduce ad una serie 1/k! che è convergente.
per x=0 la serie si riduce a 1/k! che è convergente.
per x>0 utilizzo il criterio del rapporto e ottengo:
(k+1+x)^[(k+1)x]/[(k+1)(k+x)^kx]
Ora non so come avete calcolato il
, ma a me viene:per x>1
kn -> +infper x=1
kn -> eper x<1
kn -> 0dunque applicando il criterio del rapporto direi che la serie converge in [-2,1).
P.S.
La formula di Stirling è una formula molto nota (e utile) per studiare l'andamento del fattoriale per k molto grandi. Essa afferma che:
n! va come n^n*e^-n*
(2n)cioè
[(k/ê)^k·k] / k! = 1/(2)la formula di Stirling per l'approssimazione del fattoriale è molto utile in numerose situazioni di calcoli probabilistici e statistici. Ad esempio, con tale formula,
per 10! invece del valore corretto 3628800 si ottiene 3598697 con un errore dell'otto per mille;
per 100! si ottiene un errore dell'otto per diecimila;
per 1000! si ottiene un errore dell'otto per centomila.
Se vuoi sapere come si è ricavata questa formula vai a http://www.science.unitn.it/~probab/Materiale/mat2/mat2.html
grazie mille Pachito.
sono curioso di sentire un parere di Karl: infatti a lui venivano i miei stessi risultati...
sono curioso di sentire un parere di Karl: infatti a lui venivano i miei stessi risultati...
(1)- segnalo un banale errore di stampa in questo topic, per risparmiare qualche minuto di incertezza a qualche altro lettore:
quel Pi è, o non è sotto radice? direi proprio che lo è.
-------
(2) sono invece perplesso quando alla
Pachito risponde
e chiedo:
ma k^k / k! non è dell'ordine di e^k / sqrt(k) ?
se sì (e lo si dedurrebbe anche dalla prima citaz. qui sopra), non capisco quel "mica tanto...";
a me pare che un e^k "tiri" moltissimo, e che la sqrt(k) a denom. non gli faccia nemmeno il solletico.
tony
*Edited by - tony on 24/03/2004 04:23:41
*quote:
Pachito - 14/03/2004 : 13:29:13
n! va come n^n*e^-n*
cioè
quel Pi è, o non è sotto radice? direi proprio che lo è.
-------
(2) sono invece perplesso quando alla
*quote:
- 13/03/2004 : 21:54:39
... il termine principale del numeratore è k^k che è "più forte" di k!... [Uebermensch]
Pachito risponde
*quote:
- 13/03/2004 : 23:35:28
k^k è più forte di k!, ma mica tanto...
e chiedo:
ma k^k / k! non è dell'ordine di e^k / sqrt(k) ?
se sì (e lo si dedurrebbe anche dalla prima citaz. qui sopra), non capisco quel "mica tanto...";
a me pare che un e^k "tiri" moltissimo, e che la sqrt(k) a denom. non gli faccia nemmeno il solletico.
tony
*Edited by - tony on 24/03/2004 04:23:41
Si è vero, e^k tira tantissimo rispetto a k^1/2; tuttavia il discorso di chi 'tira' di più è sempre relativo ai soggetti in questione.
k^k/k! va a infinito come e^k
k^[k(1-epsilon)]/k! va a 0 come k^-k
Era questo quello che intendevo dire con quel 'mica tanto'.
k^k/k! va a infinito come e^k
k^[k(1-epsilon)]/k! va a 0 come k^-k
Era questo quello che intendevo dire con quel 'mica tanto'.
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