Pignolerie su limiti di funzioni di due variabili
Mi ritrovo davanti questo Teorema:
Come possono le due condizioni essere equivalenti se $P_0$ è solo un punto di accumulazione? Mi spiego, senza farla lunga e senza filosofare troppo: ad esempio, se $A$ è un quadrato e $P_0$ un suo vertice, la
\[g(\rho,\theta):=f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)\]
non è manco definita per ogni valore di $\theta$ ($\in [0,2\pi]$); in altre parole, rimanendo in $A$, ci si può "avvicinare" a $P_0$ sono lungo determinate direzioni.
E' un po' come la questione dei limiti a destra e a sinistra per funzioni di una variabile: l'equivalenza tra esistenza del limite per $x\to x_0$ e l'esistenza[nota]Esistenza e uguaglianza.[/nota] dei limiti $x\to x_0^+$,$x\to x_0^-$ sussiste solo se $x_0$ è di accumulazione per il dominio sia da destra che da sinistra (ovvero se, rimanendo nel dominio, ci si può "avvicinare" a $x_0$ da entrambi i lati).
Mi pare che la questione si risolva[nota]Ovvero, che il Teorema citato rimanga vero.[/nota] assumendo $P_0$ interno ad $A$ e $f$ definita in $A\setminus\{P_0\}$. Che ne dite?
Sia $f:A\subseteq RR^2\to RR$, $P_0=(x_0,y_0)\in"Dr"(A)$,[nota]Con $"Dr"(A)$ denoto il derivato di $A$.[/nota] $L\in RR$. Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
[*:2e4fkd53] $f$ ammette limite $L$ per $P\to P_0$;[/*:m:2e4fkd53]
[*:2e4fkd53] si ha $\lim_{\rho\to 0^+}f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)=L$ uniformemente rispetto a $\theta$, ovvero
\[\forall\varepsilon>0,\exists \delta>0:\forall \rho\in(0,\delta), \forall\theta\in[0,2\pi],\ |f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-L|<\varepsilon\][/*:m:2e4fkd53][/list:u:2e4fkd53]
Come possono le due condizioni essere equivalenti se $P_0$ è solo un punto di accumulazione? Mi spiego, senza farla lunga e senza filosofare troppo: ad esempio, se $A$ è un quadrato e $P_0$ un suo vertice, la
\[g(\rho,\theta):=f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)\]
non è manco definita per ogni valore di $\theta$ ($\in [0,2\pi]$); in altre parole, rimanendo in $A$, ci si può "avvicinare" a $P_0$ sono lungo determinate direzioni.
E' un po' come la questione dei limiti a destra e a sinistra per funzioni di una variabile: l'equivalenza tra esistenza del limite per $x\to x_0$ e l'esistenza[nota]Esistenza e uguaglianza.[/nota] dei limiti $x\to x_0^+$,$x\to x_0^-$ sussiste solo se $x_0$ è di accumulazione per il dominio sia da destra che da sinistra (ovvero se, rimanendo nel dominio, ci si può "avvicinare" a $x_0$ da entrambi i lati).
Mi pare che la questione si risolva[nota]Ovvero, che il Teorema citato rimanga vero.[/nota] assumendo $P_0$ interno ad $A$ e $f$ definita in $A\setminus\{P_0\}$. Che ne dite?
Risposte
Secondo me basta aggiungere un "laddove la funzione risulti definita" da qualche parte nella seconda condizione. Se chiedi che il punto sia interno restringi di molto l'applicabilità del teorema.
E' chiaro, ma esprimere questa condizione in modo rigoroso e conciso mi sembra difficile. Insomma, ne verrebbe fuori un pasticcio 
"Plepp":
E' chiaro, ma esprimere questa condizione in modo rigoroso e conciso mi sembra difficile. Insomma, ne verrebbe fuori un pasticcio
Beh, sì, ma si rischia di incasinare il tutto, perché in generale un p.d.a. non è tenuto ad avere intorno a sé punti dell'insieme distribuiti "in maniera decente" (qui con "in maniera decente" intendo in modo che sia semplice determinarne le anomalie come angoli \(\theta\) appartenenti ad insiemi "facilmente descrivibili").
In altre parole, un p.d.a. \((x_0,y_0)\) per \(A\) può avere intorno a sé punti scatterati in manera assurda, come una pioggerellina.
Per descrivere formalmente questa situazione nell'enunciato di un teorema serve troppo casino ed il gioco non vale la candela.
Se vuoi enunciare comunque un teorema come quello di cui sopra (che è falso così com'è scritto) senza essere troppo pedante, conviene essere un po' sloppy e lasciare sbrigare gran parte della faccenda al lettore che applicherà il teoremino solo per risolvere qualche sparuto esercizio (perché un teorema del genere serve solo a questo).
Ad esempio, puoi inserire nell'enunciato una riga del tipo "sia \(R\times \Theta \subseteq [0,\infty[\times [0,2\pi[\) l'insieme delle coordinate polari dei punti di \(A\) che cadono sufficientemente vicino a \((x_0,z_0)\); allora:
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L \qquad \Leftrightarrow \qquad \lim_{(r,\theta)\in R\times \Theta, r\to 0} f(x_0+r\cos \theta , y_0+r\sin \theta) =L \text{ uniformemente rispetto a } \theta
\]"
"gugo82":
In altre parole, un p.d.a. \((x_0,y_0)\) per \(A\) può avere intorno a sé punti scatterati in manera assurda, come una pioggerellina.
Per descrivere formalmente questa situazione nell'enunciato di un teorema serve troppo casino ed il gioco non vale la candela.
Era proprio questo che intendevo!
Soprattutto per non incasinare troppo la dimostrazione, propenderei per l'assumere $A$ aperto (o quantomeno assumere $f$ definita in un intorno bucato di centro $P_0$): se poi è proprio necessario, si crea una versione del Teorema fatta ad hoc per l'esercizio da risolvere[nota]Che ne so: tornando all'esempio di cui parlavo nel primo post, se $P_0$ è il vertice di nord-ovest di un quadrato, si fa variare $\theta$ in $[-pi/2,0)$.[/nota]. L'importante è che si capisca il meccanismo!
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