Piccolo quesito sui limiti
Ciao a tutti, volevo chiedervi una cosa.
$ lim_(x->+oo) log x / x^2 = 0$
$ lim_(x->0) log x / x^2 = +oo $
quando faccio limiti che tendono a zero, posso considerare la scala degli infiniti invertita?
E inoltre posso sempre riportarmi da x tendente a 0 a x tendente a +infinito? se si, come si fa nel secondo caso che ho messo?
grazie
$ lim_(x->+oo) log x / x^2 = 0$
$ lim_(x->0) log x / x^2 = +oo $
quando faccio limiti che tendono a zero, posso considerare la scala degli infiniti invertita?
E inoltre posso sempre riportarmi da x tendente a 0 a x tendente a +infinito? se si, come si fa nel secondo caso che ho messo?
grazie
Risposte
Non ho capito cosa intendi.Però secondo me il secondo limite che hai scritto è -oo
Anche secondo me è $-\infty$, perché il sopra tende a $-\infty$, mentre il sotto a $+\infty$, quindi il rapporto non può che essere negativo, però, applicando de l'Hopital, viene $+\infty$, e al momento non mi saprei spiegare perché... che sia contraddetta qualche ipotesi del teorema...
il mio prof mi ha detto che quando x tende a zero la scala degli infiniti è ribaltata...esempio: potenza batte logaritmo a +infinito...pero nella pratica non ho capito come usare questa informazione. Del secondo limite non sono sicuro...infatti chiedevo ma dovrebbe essere se non sbaglio una forma indeterminata -infinito x zero...
sotto non tende a +infinito...
Anche secondo me è -∞, perché il sopra tende a -∞, mentre il sotto a +∞
sotto non tende a +infinito...
Non vorrei dire una cavolata..ma forse visto che per applicare de l'hopital ci vuole la derivabilità nell'intervallo chiuso [a,b] di interesse questa regola..come hai detto tu non è applicabile.Infatti a noi servirebbe applicarla in zero..che sarebbe il nostro a...ma logx non credo sia derivabile in zero.
Non è che il logaritmo non è derivabile in zero, non è proprio definito 
scusate ma la risposta non puo arrivare fino a l'hopital...ci deve essere una soluzione o modo di procedere piu semplice..
"Lucked":
il mio prof mi ha detto che quando x tende a zero la scala degli infiniti è ribaltata...esempio: potenza batte logaritmo a +infinito...pero nella pratica non ho capito come usare questa informazione. Del secondo limite non sono sicuro...infatti chiedevo ma dovrebbe essere se non sbaglio una forma indeterminata -infinito x zero...
Anche secondo me è -∞, perché il sopra tende a -∞, mentre il sotto a +∞
sotto non tende a +infinito...
Certo, tende a $0^{+}$, ho sbagliato a scrivere, ciò non toglie che se il sopra è negativo e il sotto è positivo la frazione non può che essere negativa. Anzi, non è neppure una forma indeterminata, il limite fa $-\infty$.
E penso che sia proprio per questo che non si può applicare de l'Hopital, perché non è una forma di indeterminazione $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.
"Tipper":
Certo, tende a $0^{+}$, ho sbagliato a scrivere, ciò non toglie che se il sopra è negativo e il sotto è positivo la frazione non può che essere negativa. Anzi, non è neppure una forma indeterminata, il limite fa $-\infty$.
E penso che sia proprio per questo che non si può applicare de l'Hopital, perché non è una forma di indeterminazione $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.
Penso che de l'Hopital lì si possa applicare, però appunto solo per il limite tendente a $0^{+}$... del resto il logaritmo reale è definito unicamente per i numeri positivi, per cui il problema delle ipotesi non sta nell'infinto su infinito, ma sul fatto che il limite può tendere solo a $0^+$ .... o sbaglio?
(comunque mi sono espresso malissimo 
)
ok tipper grazie...se invece fosse $lim_(x->0) x^2 / logx$ quanto verrebbe? zero?
Sì.
ah ok adesso ho capito cosa voui dire.
Ok..poremetto che nel secondo limite questa info non serve visto che è -00/0 e quindi andiamo verso l'infinito senza dubbio.
comunque in genere si ha che per x che tende a infinito $e^x$ batte $x^n$ che batte a sua volta$logx$
per x che tende a zero invece abbiamo che il logaritmo tende a -oo più veloce di tutto il resto.Di questa cosa te ne puoi fare una regione pensando che la funzione logaritmo è l'inversa dell'esponenziale e quindi se te la ribalti,te la giri e te la trasli un pochino dovresti vedere una cosa interessante...
L'applicazione pratica potrebbe essere
calcola il limite $ lim_(x->0)1/ log x * x^5 $...allora avresti al denominatore -oo*0.Siccome tu sai però che per x-->0 il log va a -oo più veloce di quanto x^n va a zero....
Per completare il cerchio potresti notare come l'esponenziale va a zero per x-->-oo( ci va molto piano...esattamente come il log va a + infinito per x-->+oo( a proposito della cosa interessante da vedere che dicevo prima...).
Ok..poremetto che nel secondo limite questa info non serve visto che è -00/0 e quindi andiamo verso l'infinito senza dubbio.
comunque in genere si ha che per x che tende a infinito $e^x$ batte $x^n$ che batte a sua volta$logx$
per x che tende a zero invece abbiamo che il logaritmo tende a -oo più veloce di tutto il resto.Di questa cosa te ne puoi fare una regione pensando che la funzione logaritmo è l'inversa dell'esponenziale e quindi se te la ribalti,te la giri e te la trasli un pochino dovresti vedere una cosa interessante...
L'applicazione pratica potrebbe essere
calcola il limite $ lim_(x->0)1/ log x * x^5 $...allora avresti al denominatore -oo*0.Siccome tu sai però che per x-->0 il log va a -oo più veloce di quanto x^n va a zero....
Per completare il cerchio potresti notare come l'esponenziale va a zero per x-->-oo( ci va molto piano...esattamente come il log va a + infinito per x-->+oo( a proposito della cosa interessante da vedere che dicevo prima...).
porca vacca ho sbagliato ancora a editare..l'x alla 5 stava al denom naturalmente.
Per tipper
si è vero non è definito...però se pensi allo zero più si potrebbe fare...ma siccome la drivabilità me la chiede sull'intervallo chiuso lì sono fregato per forza...quindi è per quello che ho tirato fuori la derivabilità
Per tipper
si è vero non è definito...però se pensi allo zero più si potrebbe fare...ma siccome la drivabilità me la chiede sull'intervallo chiuso lì sono fregato per forza...quindi è per quello che ho tirato fuori la derivabilità
"Lucked":
se invece fosse $lim_(x->0) x^2 / logx$ quanto verrebbe? zero?
Ma scusate viene zero il limite $lim_(x->0^+) x^2 / logx$ e non ha senso invece $lim_(x->0) x^2 / logx$... o ripeto sono io che sbaglio?
no secondo me non sbagli..ma penso che fosse dato per scontato lo zero +.
"amel":
[quote="Lucked"]se invece fosse $lim_(x->0) x^2 / logx$ quanto verrebbe? zero?
Ma scusate viene zero il limite $lim_(x->0^+) x^2 / logx$ e non ha senso invece $lim_(x->0) x^2 / logx$... o ripeto sono io che sbaglio?
[/quote]Certo che non sbagli, ma io l'ho inteso per $x$ che tende a $0^{+}$, perché il logaritmo non è definito per $x \le 0$.
ok sorry...
Però ripensandoci:
$ lim_(x->0^+) log x / x^2 $ sembra soddisfare le condizioni del teorema di de l'Hopital, però si giunge al risultato sbagliato... uuh mi vengono i dubbi sulle basi della matematica
Però ripensandoci:
$ lim_(x->0^+) log x / x^2 $ sembra soddisfare le condizioni del teorema di de l'Hopital, però si giunge al risultato sbagliato... uuh mi vengono i dubbi sulle basi della matematica
come dicevo prima..non soddisfa la derivabilità nell'intervallo CHIUSO...Il logaritmo sullo zero è aperto come.
Per usare Hopital bisogna avere $oo/oo$, e non $-oo/oo$, quindi facendo le derivate il limite va cambiato di segno, ed ecco il $-oo$.
"elgiovo":
Per usare Hopital bisogna avere $oo/oo$, e non $-oo/oo$, quindi facendo le derivate il limite va cambiato di segno, ed ecco il $-oo$.
Ma nel limite incriminato non si ha $-\frac{\infty}{\infty}$, ma $\frac{-infty}{0^{+}}$. Comunque, secondo me, va bene anche $-\frac{\infty}{\infty}$.
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