Piccolo problema con integrale definito.
Buonasera, ho dei problemi con questo integrale
$ int_(1)^(+oo) (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx $
dopo aver applicato un opportuna sostituzione ( x^2 = t ) ricavo
$ 3/2 int_(1)^(+oo)dt/(4t^2+4t-3) $
che con la sua opportuna scomposizione mi dà
$ 3/2 int_(1)^(+oo)dt/((t+3/2)(t-1/2) $
ora , applico il metodo A e B per gli integrali , e ho come risultato due integrali separati , ma basta vederne già uno
$ -3/4 int_(1)^(+oo)dt/((t+3/2)) $
e vedo che l'integrale diverge...
Non capisco il mio errore , dato che il risultato è
3(ln5)/16
saluti ,Luca
$ int_(1)^(+oo) (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx $
dopo aver applicato un opportuna sostituzione ( x^2 = t ) ricavo
$ 3/2 int_(1)^(+oo)dt/(4t^2+4t-3) $
che con la sua opportuna scomposizione mi dà
$ 3/2 int_(1)^(+oo)dt/((t+3/2)(t-1/2) $
ora , applico il metodo A e B per gli integrali , e ho come risultato due integrali separati , ma basta vederne già uno
$ -3/4 int_(1)^(+oo)dt/((t+3/2)) $
e vedo che l'integrale diverge...
Non capisco il mio errore , dato che il risultato è
3(ln5)/16
saluti ,Luca
Risposte
Ho preso lucciole per lanterne 
Infatti non diverge visto che $(3x)/(4x^4+4x^2-3)$ è asintotico a $3/(4x^3)$
Ma come arrivo al risultato Dell'esercizio??
Intanto che il denominatore si può scrivere come
$4(x-1/sqrt2)(x+1/sqrt2)(x^2+3/2)$
E usando i fratti semplici
$4(x-1/sqrt2)(x+1/sqrt2)(x^2+3/2)$
E usando i fratti semplici
Va bene, grazie.
Ciao lucadibbo,
Io sarei andato avanti da dove eri arrivato, considerando l'integrale indefinito:
$ int (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/2 int (dt)/(4t^2+4t-3) = 3/2 int frac{dt}{(2t + 1)^2 - 4} $
A questo punto avrei posto $u := 2t + 1 \implies du = 2 dt \implies dt = (du)/2 $ in modo da avere l'integrale seguente:
$ 3/2 int frac{dt}{(2t + 1)^2 - 4} = 3/4 int frac{du}{u^2 - 2^2} = ... = 3/16 [ln(u - 2) - ln(u + 2)] + c = $
$ = 3/16 [ln(2t - 1) - ln(2t + 3)] + c $
A questo punto, ricordando che $t = x^2 $, in definitiva si ha:
$ int (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/16 [ln(2x^2 - 1) - ln(2x^2 + 3)] + c $
Perciò per l'integrale proposto si ha:
$ int_{1}^{+\infty} (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/16 [ln(2x^2 - 1) - ln(2x^2 + 3)]_1^{+\infty} = 3/16 [ln(frac{2x^2 - 1}{2x^2 + 3})]_1^{+\infty} = $
$ = - 3/16 ln(1/5) = 3/16 ln(5) $
Io sarei andato avanti da dove eri arrivato, considerando l'integrale indefinito:
$ int (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/2 int (dt)/(4t^2+4t-3) = 3/2 int frac{dt}{(2t + 1)^2 - 4} $
A questo punto avrei posto $u := 2t + 1 \implies du = 2 dt \implies dt = (du)/2 $ in modo da avere l'integrale seguente:
$ 3/2 int frac{dt}{(2t + 1)^2 - 4} = 3/4 int frac{du}{u^2 - 2^2} = ... = 3/16 [ln(u - 2) - ln(u + 2)] + c = $
$ = 3/16 [ln(2t - 1) - ln(2t + 3)] + c $
A questo punto, ricordando che $t = x^2 $, in definitiva si ha:
$ int (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/16 [ln(2x^2 - 1) - ln(2x^2 + 3)] + c $
Perciò per l'integrale proposto si ha:
$ int_{1}^{+\infty} (3x)/(4x^4+4x^2-3)dx = 3/16 [ln(2x^2 - 1) - ln(2x^2 + 3)]_1^{+\infty} = 3/16 [ln(frac{2x^2 - 1}{2x^2 + 3})]_1^{+\infty} = $
$ = - 3/16 ln(1/5) = 3/16 ln(5) $
Una piccola considerazione. Nota che, per trovare il valore dell'integrale, pilloeffe ha calcolato un limite per sciogliere la forma indeterminata \(\infty-\infty\). Questo corrisponde al fatto che
Non c'è problema. Se il tuo integrale di partenza era
\[
\int_1^\infty f(x)\, dx, \]
con il metodo dei fratti semplici hai scritto \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\), quindi
\[
\int_1^\infty f(x)\, dx = \int_1^\infty(f_1(x)+f_2(x))\, dx, \]
ma NON PUOI spezzarlo in
\[\tag{!!}
\int_1^\infty f_1(x)\,dx+\int_1^\infty f_2(x)\, dx \]
perché i due singoli integrali non sono convergenti, nonostante l'integrale originario sia convergente. Questo si riflette nel fatto che, al momento di calcolare esplicitamente, occorre sciogliere una indeterminazione \(\infty-\infty\), che non si può fare semplicemente spezzando in somma.
Morale della favola: non si possono spezzare gli integrali in somma a meno che tutti gli addendi siano convergenti.
basta vederne già uno
[...]
e vedo che l'integrale diverge...
Non c'è problema. Se il tuo integrale di partenza era
\[
\int_1^\infty f(x)\, dx, \]
con il metodo dei fratti semplici hai scritto \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)\), quindi
\[
\int_1^\infty f(x)\, dx = \int_1^\infty(f_1(x)+f_2(x))\, dx, \]
ma NON PUOI spezzarlo in
\[\tag{!!}
\int_1^\infty f_1(x)\,dx+\int_1^\infty f_2(x)\, dx \]
perché i due singoli integrali non sono convergenti, nonostante l'integrale originario sia convergente. Questo si riflette nel fatto che, al momento di calcolare esplicitamente, occorre sciogliere una indeterminazione \(\infty-\infty\), che non si può fare semplicemente spezzando in somma.
Morale della favola: non si possono spezzare gli integrali in somma a meno che tutti gli addendi siano convergenti.
"dissonance":
Una piccola considerazione.
Mica tanto piccola e direi anche piuttosto significativa... Grande dissonance!
@lucadibbo
Ci tengo a mostrarti una "applicazione pratica" nella quale l'errore di cui parla dissonance nel suo post l'ho commesso (non si sa quanto volutamente...
) io stesso: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=173187L'integrale originario converge ma, mentre ognuno dei due integrali col logaritmo diverge, la loro differenza è una forma indeterminata $\infty - \infty $ che qualora fosse risolta fornirebbe il numero al quale converge l'integrale originario...
Grazie mille a tutti!!! Scusate se vi rispondo solo ora
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