Piccolo dubbio sulle proprietà o-piccolo

[luca661]

Ragazzi ho un piccolo dubbio: se io ho ad esempio
o-piccolo di .... \(\displaystyle o(x+5) \) questo è uguale a \(\displaystyle o(x) \) ??
Ho cercato ovunque e da nessuna parte si contempla \(\displaystyle o(f(x)+g(x)) \) e se essa abbia proprietà o altro.

poi in inoltre \(\displaystyle o(1) \) sono tutte le funzioni che tendono a \(\displaystyle 0 \), ma \(\displaystyle o(2) \) o di 3,.. ?

Vi ringrazio per la disponibilità!

[luca661]

Qualche risposta?

[matteoorlandini]

Ciao, per il primo quesito devi usare la definizione di o-piccolo:
sia $f(x)$ funzione definita su un insieme A e $x_0$ punto di accumulazione per A. Se il limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)/g(x)$ è zero allora $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ per $x$ che tende a $x_0$.
Devi quindi dimostrare che $lim_(x->x_0)f(x)/x=lim_(x->x_0)f(x)/(x+5)$ quindi $f(x)=o(x)=o(x+5)$ cioè $o(x)=o(x+5)$
Per la seconda domanda devi sempre usare la definizione di o-piccolo: sia $f(x)$ funzione definita su un insieme A e $x_0$ punto di accumulazione per A. Se il limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)$ è zero allora $f(x)$ è un o-piccolo di 1 per $x$ che tende a $x_0$. Nel caso di $o(2)$ se il limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)/2$ è zero allora $f(x)$ è un o-piccolo di 2 per $x$ che tende a $x_0$. In generale puoi usare la proprietà $c*o(x^n)=o(c*x^n)=o(x^n)$ dove nel tuo caso $n=1$ per cui $o(1)=o(2)=o(3)...$
Per altri approfondimenti scrivi algebra degli o-piccolo su Google.

[luca661]

e ma scusami per \(\displaystyle o(x+5) \) come faccio??
Non ho \(\displaystyle o(x) + o(5) \) ..

[matteoorlandini]

Risposta modificata.

[luca661]

Perfetto. Quindi senza fare quell'osservazione non posso applicare qualche proprietà che mi fa rimuovere quel 5 tipo quella che dice che \(\displaystyle o(x^m+x^n) = o(x^p) \) con \(\displaystyle p \) il minimo tra \(\displaystyle m \) e \(\displaystyle n \)?

[matteoorlandini]

Sono abbastanza sicuro che se una funzione è $o(x)$ per $x->x_0$ allora lo è anche $o(x+5)$ sempre per $x->x_0$

[luca661]

Però non riesco a capire bene perché ... dopo tutto che significa che \(\displaystyle o(x)=o(x+5) \) ?

Significherebbe che tutte le funzioni che tendono a \(\displaystyle 0 \) più velocemente di x tendono a zero più velocemente di \(\displaystyle x+5 \)?

Mi sto perdendo qualcosa?

[anonymous_0b37e9]

"luca66":
... dopo tutto che significa ...

Non hai tutti i torti. Ad ogni modo, premesso che dovresti chiarire almeno il contesto in cui è sorta l'esigenza di cui parli, tipicamente il confronto tra due funzioni infinitesime è definito per $x$ che tende al medesimo valore $x_0$, per $x$ che tende a $-oo$ oppure per $x$ che tende a $+oo$. Tuttavia, adottando gli opportuni accorgimenti, è possibile confrontare due funzioni infinitesime anche per $x$ che tende a $x_0$ diversi. E' addirittura possibile confrontare due funzioni che tendono a limiti $l$ diversi per $x$ che tende a $x_0$ diversi. Per esempio, ti propongo il seguente esercizio con, in spoiler, la relativa soluzione:

[luca661]

Molto bello l'esercizio proposto.
Comunque il dubbio è nato sbagliando un esercizio (un limite nello specifico) facendo proprio un errore di quel tipo.
Da lì mi sono cominciato a chiedere se fosse equivalente quella scrittura o meno. Cosa comunque ancora non chiarita benissimo dalle risposte che ho ricevuto.

[anonymous_0b37e9]

"luca66":
... dopo tutto che significa che $o(x)=o(x+5)$ ...

A rigore, assolutamente nulla. Del resto, affermare che $[o(x)=o(x+5)]$ significherebbe affermare che una funzione il cui ordine di infinitesimo, per $[x rarr 0]$, è $[\alpha gt 1]$ deve necessariamente essere una funzione il cui ordine di infinitesimo, per $[x rarr -5]$, è ancora $[\alpha gt 1]$. Ovviamente, esistono infinite funzioni che non soddisfano una tale proprietà. Solo per fare due esempi:

Esempio 1

$[f(x)=x^2] rarr [lim_(x->0)x^2/x=0] ^^ [lim_(x->-5)x^2=25] rarr$

$rarr [f(x)=o(x)] ^^ [f(x)neo(x+5)$ perché non è nemmeno infinitesima$]$

Esempio 2

$[f(x)=x^2(x+5)] rarr [lim_(x->0)(x^2(x+5))/x=0] ^^ [lim_(x->-5)(x^2(x+5))/(x+5)=25] rarr$

$rarr [f(x)=o(x)] ^^ [f(x)neo(x+5) $ perché è O(x+5)$]$

Tra l'altro, il fatto che una funzione possa essere, contemporaneamente, $[o(x)]$ e $[o(x+5)]$:

Esempio 3

$[f(x)=x^4(x+5)^3] rarr [lim_(x->0)(x^4(x+5)^3)/x=0] ^^ [lim_(x->-5)(x^4(x+5)^3)/(x+5)=0]$

andrebbe ovviamente scritto come:

$[f(x)=o(x)] ^^ [f(x)=o(x+5)]$

e non certamente come:

$[o(x)=o(x+5)]$

[luca661]

Perfetto ragionando da solo e osservando le vostre risposte, in particolare quest'ultima ricca di esempi perfetti, ho chiarito il mio dubbio. Vi ringrazio tantissimo!
Buonaserata a tutti