Piccolo dubbio sulle forme differenziali esatte
Intanto... ho passato lo scritto di analisi 2!! 
Era un problema di cauchy molto semplice ( con eq di bernoulli ), ed un triplo da fare in cilindriche... ed infine l'integrale curvilineo di una forma differenziale definita in $RR^2 - { (0,0) }$ Ora... tramite circuitazione in un intorno dell'origine ( ciurconferenza di raggio 1 centrata nell'origine ), ho potuto provare che era esatta.
E qui ho un primo dubbio: io so che basta dimostrare che la circuitazione lungo solo quella circonferenza, per dire che essa è nulla in tutti gli altri circuiti... ma perchè? Non ho questo teorema nei miei appunti.
E poi ho un'altro dubbio... Guarda caso gli estremi di integrazione erano i punti $(3, 0)$ e $(-1,0)$, ed il segmento che li univa passa per l'origine, in cui la forma non è definita.
Credetemi, sono entrato nel pallone, e delle due ore di compito a disposizione, ho speso circa 45 minuti per trovare un altro cammino decente da integrare. Alla fine con molta fatica ci sono riuscito, ma sapete com'è, ho dovuto calcolare qualcosa tipo 15 integrali definiti, ed in fretta... non sono sicuro che mi sia andato bene.
Appena uscito mi sono però detto: aspetta un secondo. Se la forma è esatta è definita una funzione di potenziale $U(x, y)$, non sarebbe bastato calcolare $U(3,0) - U(-1, 0)$ ed uscirmene subito?
La cosa torna moltissimo, molti miei colleghi dicono che non è così perchè c'è l'origine in mezzo... Voi che ne dite?
Sarebbe una grande cosa se mi potreste aiutare con questi dubbi, così all'orale vedo di non fare brutta figura! Grazie in anticipo
Era un problema di cauchy molto semplice ( con eq di bernoulli ), ed un triplo da fare in cilindriche... ed infine l'integrale curvilineo di una forma differenziale definita in $RR^2 - { (0,0) }$ Ora... tramite circuitazione in un intorno dell'origine ( ciurconferenza di raggio 1 centrata nell'origine ), ho potuto provare che era esatta.
E qui ho un primo dubbio: io so che basta dimostrare che la circuitazione lungo solo quella circonferenza, per dire che essa è nulla in tutti gli altri circuiti... ma perchè? Non ho questo teorema nei miei appunti.
E poi ho un'altro dubbio... Guarda caso gli estremi di integrazione erano i punti $(3, 0)$ e $(-1,0)$, ed il segmento che li univa passa per l'origine, in cui la forma non è definita.
Credetemi, sono entrato nel pallone, e delle due ore di compito a disposizione, ho speso circa 45 minuti per trovare un altro cammino decente da integrare. Alla fine con molta fatica ci sono riuscito, ma sapete com'è, ho dovuto calcolare qualcosa tipo 15 integrali definiti, ed in fretta... non sono sicuro che mi sia andato bene.
Appena uscito mi sono però detto: aspetta un secondo. Se la forma è esatta è definita una funzione di potenziale $U(x, y)$, non sarebbe bastato calcolare $U(3,0) - U(-1, 0)$ ed uscirmene subito?
La cosa torna moltissimo, molti miei colleghi dicono che non è così perchè c'è l'origine in mezzo... Voi che ne dite?
Sarebbe una grande cosa se mi potreste aiutare con questi dubbi, così all'orale vedo di non fare brutta figura! Grazie in anticipo
Risposte
Regola d'oro: mai dare ascolto ai colleghi!!! 
Dicono tante di quelle *** che certe volte viene da prenderli a ceffoni.
Comunque, andiamo con ordine:
1) Se una f.d.l. (forma differenziale lineare) è definita in un insieme "con un solo buco" quale $RR^2-{(0, 0)}$ ed è chiusa allora basta verificare che una circuitazione attorno al buco si annulla per concludere che tutte le circuitazioni si annullano. In genere si prende una circuitazione attorno ad una circonferenza. Questo segue dal teorema di invarianza per omotopia: se $omega$ è una f.d.l. chiusa definita nell'aperto $Omega$ e $gamma, psi$ sono due circuiti $Omega$-omotopi, allora $int_gamma omega=int_psi omega$. (Ed è per questo che se una f.d.l. è chiusa in un aperto $Omega$ semplicemente connesso allora è esatta: tutti i circuiti sono $Omega$ omotopi ad un punto, quindi ogni circuitazione di $omega$ è uguale ad un integrale esteso ad un solo punto, ovvero a zero).
Una dimostrazione proprio rigorosa è un po' scocciante da costruire. L'idea è:
Supponiamo che $psi$ sia una circonferenza in $RR^2-{(0,0)}$ di centro l'origine e tale che $int_psi omega=0$. Sia poi $gamma$ un circuito in $RR^2-{(0, 0)}$. Se questo circuito non si avvolge attorno all'origine, allora è omotopo ad un punto (cosa intuitivamente ovvia ma un po' fastidiosa da dimostrare) e di conseguenza $int_gamma omega=0$. Altrimenti si può dimostrare che $gamma$ è $Omega$ omotopo a $psi$ percorsa un certo numero di volte, eventualmente un numero di volte negativo se $gamma$ si avvolge attorno all'origine in senso orario. Questo "numero di volte" si chiama indice di avvolgimento e si indica con $"Ind"_gamma(0, 0)$.
Da questa osservazione, e dal fatto che $omega$ è chiusa, segue che $int_gamma omega="Ind"_gamma(0, 0) int_psi omega=0$. Quindi tutte le circuitazioni di $omega$ si annullano e $omega$ è esatta.
2) Qui devi specificare per bene quale sia l'integrale curvilineo che dovevi calcolare. Il cammino di integrazione passa per l'origine? Se si, hanno ragione i tuoi colleghi; se no (come penso) hai ragione tu.
Dicono tante di quelle *** che certe volte viene da prenderli a ceffoni. Comunque, andiamo con ordine:
1) Se una f.d.l. (forma differenziale lineare) è definita in un insieme "con un solo buco" quale $RR^2-{(0, 0)}$ ed è chiusa allora basta verificare che una circuitazione attorno al buco si annulla per concludere che tutte le circuitazioni si annullano. In genere si prende una circuitazione attorno ad una circonferenza. Questo segue dal teorema di invarianza per omotopia: se $omega$ è una f.d.l. chiusa definita nell'aperto $Omega$ e $gamma, psi$ sono due circuiti $Omega$-omotopi, allora $int_gamma omega=int_psi omega$. (Ed è per questo che se una f.d.l. è chiusa in un aperto $Omega$ semplicemente connesso allora è esatta: tutti i circuiti sono $Omega$ omotopi ad un punto, quindi ogni circuitazione di $omega$ è uguale ad un integrale esteso ad un solo punto, ovvero a zero).
Una dimostrazione proprio rigorosa è un po' scocciante da costruire. L'idea è:
Supponiamo che $psi$ sia una circonferenza in $RR^2-{(0,0)}$ di centro l'origine e tale che $int_psi omega=0$. Sia poi $gamma$ un circuito in $RR^2-{(0, 0)}$. Se questo circuito non si avvolge attorno all'origine, allora è omotopo ad un punto (cosa intuitivamente ovvia ma un po' fastidiosa da dimostrare) e di conseguenza $int_gamma omega=0$. Altrimenti si può dimostrare che $gamma$ è $Omega$ omotopo a $psi$ percorsa un certo numero di volte, eventualmente un numero di volte negativo se $gamma$ si avvolge attorno all'origine in senso orario. Questo "numero di volte" si chiama indice di avvolgimento e si indica con $"Ind"_gamma(0, 0)$.
Da questa osservazione, e dal fatto che $omega$ è chiusa, segue che $int_gamma omega="Ind"_gamma(0, 0) int_psi omega=0$. Quindi tutte le circuitazioni di $omega$ si annullano e $omega$ è esatta.
2) Qui devi specificare per bene quale sia l'integrale curvilineo che dovevi calcolare. Il cammino di integrazione passa per l'origine? Se si, hanno ragione i tuoi colleghi; se no (come penso) hai ragione tu.
"dissonance":
Regola d'oro: mai dare ascolto ai colleghi!!!
Ahaha quanto è vero!
Lo sto imparando a mie spese.. 
Grazie per la dimostrazione, ora mi è molto più chiaro come funzionano veramente le cose
"dissonance":
2) Qui devi specificare per bene quale sia l'integrale curvilineo che dovevi calcolare. Il cammino di integrazione passa per l'origine? Se si, hanno ragione i tuoi colleghi; se no (come penso) hai ragione tu.
Allora, purtroppo non ricordo esattamente la forma in se. Integrarla però lungo il cammino dato era praticamente impossibile, o comunque molto sconveniente, come mi è stato riferito da colleghi. Io manco ci ho provato, in tutta onestà, appena ho visto la situazione ho subito provveduto a dimostrare la sua esattezza per poter procedere lungo altri cammini.
Non ricordo se il cammino originale passasse per l'origine, è importante? Non credo comunque, se non mi sbaglio il sostegno era espresso in forma parametrica:
$x = 1 -2cost$
$y = sint$
Solitamente per lavorare con soli polinomi e fratti considero il segmento unente i due punti, in questo caso era molto semplice:
$x = 3 -t$ con $ t \in [0, 4] $
$y = 0$
Solo che tale segmento passa per l'origine. Alla fine ho scelto una specie di triangolo rettangolo, e sono riuscito ad uscirmene dopo un paio di conti però non credo appunto che sia stata la scelta giusta.
Dici che avrei potuto integrare lo stesso lungo quel segmento? Cioè proprio calcolando $ int_0^4 \omega(t) \cdot t' dt $?
Se il circuito è quello che hai scritto, e se la forma differenziale è esatta, allora sei in questa situazione:
hai una f.d.l. esatta, e hai un cammino lungo cui integrarla - se conosci un potenziale puoi usare la formula $int_gamma omega= U(P_2)-U(P_1)$. Fine.
Tutto il resto che ti hanno detto i colleghi sono stupidaggini.
Poi nota che se una f.d.l. non è definita in un punto, non è che abbia tanto senso calcolare un integrale lungo un percorso che passa proprio da quel punto. Se provi a svolgere i conti, verrà fuori un integrale improprio: sì, potrebbe essere convergente, ma il discorso si complica e sicuramente non è richiesto questo tipo di riflessioni in un esame di Analisi II.
hai una f.d.l. esatta, e hai un cammino lungo cui integrarla - se conosci un potenziale puoi usare la formula $int_gamma omega= U(P_2)-U(P_1)$. Fine.
Tutto il resto che ti hanno detto i colleghi sono stupidaggini.
Poi nota che se una f.d.l. non è definita in un punto, non è che abbia tanto senso calcolare un integrale lungo un percorso che passa proprio da quel punto. Se provi a svolgere i conti, verrà fuori un integrale improprio: sì, potrebbe essere convergente, ma il discorso si complica e sicuramente non è richiesto questo tipo di riflessioni in un esame di Analisi II.
Esattamente, viene un improprio ed appunto per questo mi sono bloccato. A questo punto credo di aver fatto bene ad aver integrato lungo l'altro percorso
Sarebbe stato abbastanza problematico trovarsi la $U(x,y)$, o per lo meno non ne avrei avuto la certezza che sarebbe andato.
Grazie di tutto dissonance
Sarebbe stato abbastanza problematico trovarsi la $U(x,y)$, o per lo meno non ne avrei avuto la certezza che sarebbe andato.
Grazie di tutto dissonance
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