Piccolo dubbio sulle derivate parziali miste

[smaug1]

Data la seguente funzione $f(x,y) = x^2y + 3y^2$

Calcolo la derivata parziali

$f_x = 2xy$ e $f_y = x^2 + 6y$

mentre quando faccio quelle seconde ho:

$f_{x,x} = 2y$ $;$ $f_{yy} = 6$

Il mio dubbio arriva qui, calcolando quelle miste:

$f_{xy} = 2x$ e $f_{yx} = 2x$ giusto?

Può capitare che nel determinare l'hessiano siano diverse? (con un'altra funzione che ora non ricordo quale fosse) a me è capitato ma non so se era un errore di calcolo o meno. Il teorema si Schwarz il prof non lo ha dimostrato, ha solo detto che le due derivate miste sono uguali, tuttavia non si è capito bene quando sicuramente lo sono.

Grazie

[dissonance]

In linea teorica può capitare che le derivate miste siano diverse, ma è un fenomeno patologico nel senso che se una funzione è sufficientemente regolare (di classe \(C^2\) è sufficiente) allora questo non accade. Poi ci sono pure dei teoremi ad assicurare che, se questo accade, accade solo su insiemi "piccoli"... Insomma, se facendo un esercizio ti capita che la matrice Hessiana non venga simmetrica, ricontrolla i conti perché hai sicuramente sbagliato qualcosa.

[smaug1]

ti rigrazio, come sempre!

[dissonance]

(Comunque, se qualcuno si stesse chiedendo di cosa parlavo nel post precedente, mi riferivo al contenuto di questa discussione:

http://math.stackexchange.com/a/47885/8157 )