Piccolo dubbio sul concetto di differenziabilità
Buongiorno, è da quasi un mese ormai che non riesco a sciogliermi da solo questo mio dubbio, dunque dopo svariate ricerche in rete ho deciso che forse era meglio provare a chiedere a voi 
Il problema è che ho capito sia il concetto di approssimazione lineare che quello di applicazione lineare, ma non riesco bene a metterli assieme (forse anche perchè non abbiamo mai fatto un solo esercizio durante il corso):
Un'applicazione lineare tra due $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ è un'applicazione tale che soddisfi la seguente proprietà:
considerati due vettori $v_1, v_2 in V$ e due scalari $\lambda_1, \lambda_2 in K$ deve valere che $f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2)= \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2)$.
Nel caso in cui $V=RR^n$ e $W=RR^m$, considerando per entrambi come base la rispettiva base canonica, $x=(x_1,...,x_n)^t in RR^n$, $y=(y_1,...,y_m)^t in RR^m$, $A=(a_(ij)) in RR^(m,n)$, ogni'applicazione lineare $L: RR^n->RR^m$ può essere definita da:
$(y_1,...,y_m)^t=((a_(11),..., a_(1n)),(..., ,...),(a_(m1), ..., a_(mn)))(x_1,...,x_n)^t$
Una funzione $f:RR^n->RR^m$ è differenziabile in un punto $\bar{x}$ del suo dominio se esiste un'applicazione lineare $L:RR^n->RR^m$ tale che
$f(x)=f(\bar{x}) + L(x-\bar{x}) + o(||x-\bar{x}||)$ , con $lim_(x->\bar{x})(o(||x-\bar{x}||))/||x-\bar{x}||=0$
Io non riesco a capire cosa significa quella $L$, sarebbe la matrice associata all'applicazione? e $(x-\bar{x})$ moltiplicano $L$ oppure sono i suoi parametri di ingresso? Conoscete per caso qualche esempio che possa un po chiarirmi le idee?
Ringrazio in anticipo per l'attenzione, Lorenzo
Il problema è che ho capito sia il concetto di approssimazione lineare che quello di applicazione lineare, ma non riesco bene a metterli assieme (forse anche perchè non abbiamo mai fatto un solo esercizio durante il corso):
Un'applicazione lineare tra due $K$-spazi vettoriali $V$ e $W$ è un'applicazione tale che soddisfi la seguente proprietà:
considerati due vettori $v_1, v_2 in V$ e due scalari $\lambda_1, \lambda_2 in K$ deve valere che $f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2)= \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2)$.
Nel caso in cui $V=RR^n$ e $W=RR^m$, considerando per entrambi come base la rispettiva base canonica, $x=(x_1,...,x_n)^t in RR^n$, $y=(y_1,...,y_m)^t in RR^m$, $A=(a_(ij)) in RR^(m,n)$, ogni'applicazione lineare $L: RR^n->RR^m$ può essere definita da:
$(y_1,...,y_m)^t=((a_(11),..., a_(1n)),(..., ,...),(a_(m1), ..., a_(mn)))(x_1,...,x_n)^t$
Una funzione $f:RR^n->RR^m$ è differenziabile in un punto $\bar{x}$ del suo dominio se esiste un'applicazione lineare $L:RR^n->RR^m$ tale che
$f(x)=f(\bar{x}) + L(x-\bar{x}) + o(||x-\bar{x}||)$ , con $lim_(x->\bar{x})(o(||x-\bar{x}||))/||x-\bar{x}||=0$
Io non riesco a capire cosa significa quella $L$, sarebbe la matrice associata all'applicazione? e $(x-\bar{x})$ moltiplicano $L$ oppure sono i suoi parametri di ingresso? Conoscete per caso qualche esempio che possa un po chiarirmi le idee?
Ringrazio in anticipo per l'attenzione, Lorenzo
Risposte
sono anchio in fase di studio di analisi 2 
praticamente si, ovvero (cambio un pò le lettere)
l'applicazione lineare $D_(f,a):RR^n->RR^m$ definita da $D_(f,a)=L_(Jf(a)):RR^n->RR^m$ è il differenziale di $f$ in $a$
praticamente la tua $L$ che io chiamo $Jf(x)$ è la matrice jacobiana di $f(x)$
praticamente si, ovvero (cambio un pò le lettere)l'applicazione lineare $D_(f,a):RR^n->RR^m$ definita da $D_(f,a)=L_(Jf(a)):RR^n->RR^m$ è il differenziale di $f$ in $a$
praticamente la tua $L$ che io chiamo $Jf(x)$ è la matrice jacobiana di $f(x)$
Grazie della risposta,
comunque non hoancora capito, qual'è la matrice e quale l'applicazione??
cioè non è la stessa cosa dire che $L$ è una matrice oppure un'applicazione, per forza una delle due è sbagliata
comunque non hoancora capito, qual'è la matrice e quale l'applicazione??
cioè non è la stessa cosa dire che $L$ è una matrice oppure un'applicazione, per forza una delle due è sbagliata
e invece sono proprio la stessa cosa: lo spazio delle matrici [tex]m \times n[/tex] e quello delle applicazioni lineari [tex]\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/tex] sono isomorfi. ma hai studiato un po' di algebra lineare ? senza gli strumenti di base di questa disciplina è difficile capire i concetti di analisi in più variabili.
Che modi, guarda che per tua informazione algebra lineare l'ho dato l'anno socrso come primo esame e l'ho anche passato con un ottimo voto.
So anch'io che sono due spazi isomorfi, ho studiato sia il teorema che la dimostrazione. Mi concederai però che uno è uno spazio i cui elementi sono matrici e l'altro è uno spazio i cui elementi sono applicazioni, dunque non puoi correttamente affermare che si tratti dello stesso spazio.
So anch'io che sono due spazi isomorfi, ho studiato sia il teorema che la dimostrazione. Mi concederai però che uno è uno spazio i cui elementi sono matrici e l'altro è uno spazio i cui elementi sono applicazioni, dunque non puoi correttamente affermare che si tratti dello stesso spazio.
Scordiamoci per un secondo delle matrici.
La $L$ è una funzione lineare, e basta, ancora non parliamo di matrici ok? $L$ è solo una funzione.
$L(x-\bar{x})$ rappresenta il valore della funzione $L$ calcolato nel punto $x-\bar{x}$, ok?
Ancora nessuna traccia di strane matrici.
Ora ricordiamoci come si calcola $L(x-\bar{x})$. Come si fa? Moltiplicando righe per colonne la matrice associata alla funzione $L$ con il vettore $x-\bar{x}$. Volendo fare i pignoli questa matrice andrebbe chiamata diversamente da $L$, per esempio $M_L$.
"anonymous_ed8f11":
Una funzione $f:RR^n->RR^m$ è differenziabile in un punto $\bar{x}$ del suo dominio se esiste un'applicazione lineare $L:RR^n->RR^m$ tale che
$f(x)=f(\bar{x}) + L(x-\bar{x}) + o(||x-\bar{x}||)$ , con $lim_(x->\bar{x})(o(||x-\bar{x}||))/||x-\bar{x}||=0$
Io non riesco a capire cosa significa quella $L$, sarebbe la matrice associata all'applicazione? e $(x-\bar{x})$ moltiplicano $L$ oppure sono i suoi parametri di ingresso? Conoscete per caso qualche esempio che possa un po chiarirmi le idee?
La $L$ è una funzione lineare, e basta, ancora non parliamo di matrici ok? $L$ è solo una funzione.
$L(x-\bar{x})$ rappresenta il valore della funzione $L$ calcolato nel punto $x-\bar{x}$, ok?
Ancora nessuna traccia di strane matrici.
Ora ricordiamoci come si calcola $L(x-\bar{x})$. Come si fa? Moltiplicando righe per colonne la matrice associata alla funzione $L$ con il vettore $x-\bar{x}$. Volendo fare i pignoli questa matrice andrebbe chiamata diversamente da $L$, per esempio $M_L$.
Ok, grandissimo, finalmente ho capito!
Non riuscivo bene a svincolare l'applicazione dalla sua matrice associata, era questo li mio problema
Non riuscivo bene a svincolare l'applicazione dalla sua matrice associata, era questo li mio problema
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