Piccolo dubbio su punto di flesso
Se ho una funzione derivabile su un insieme $I-{x_0}$ con $x_0\in I$ e accade che per $x_0-\delta0$), si può dire che $x_0$ è punto di flesso visto che non esiste in $x_0$ la derivata prima e quindi, di conseguenza, la seconda?
Risposte
Aspettate faccio un esempio perchè forse simbolicamente non si capisce tutto:
Io ho una funzione continua in $\mathbb{R}$ e derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Ho scoperto però che su [tex]]-\infty, 0[[/tex] la funzione è convessa, mentre su [tex]]0,+\infty[[/tex] è concava. Potrei dire allora che $x=0$ è un punto di flesso nonostante in $x=0$ la funzione non è derivabile ?
Io ho una funzione continua in $\mathbb{R}$ e derivabile su $\mathbb{R}-{0}$. Ho scoperto però che su [tex]]-\infty, 0[[/tex] la funzione è convessa, mentre su [tex]]0,+\infty[[/tex] è concava. Potrei dire allora che $x=0$ è un punto di flesso nonostante in $x=0$ la funzione non è derivabile ?
io credo di no (ma non prendere per vera al 100% la mia risposta, sto seguendo un mio ragionamento), perchè un punto di flesso è un punto $x_0$ nel quale la tangente in $f(x_0)$ "attraversa" il grafico. Visto che la tangente si ricava con la derivata prima e visto che secondo il tuo esempio $x_0$ ($0$) non appartiene all'insieme di derivabilità allora io concluderei che $x_0$ non è punto di flesso
E questo è proprio il nocciolo del mio dubbio, nel senso che anch'io ho seguito il tuo ragionamento, però c'è da dire che senza dubbio dopo quel punto la funzione cambia da concava a convessa come se $x=0$ fosse un punto di flesso a tutti gli effetti.
Si. Puoi dire che in 0 hai un flesso. Per avere un flesso in un punto, la funzione deve essere continua in quel punto e deve cambiare di concavità in tale punto. Non è necessario che in quel punto la funzione sia derivabile, una, due volte o più. Modificato: "Se in quel punto la funzione non è derivabile e la sua derivata prima in quel punto è+ o - $ oo $, avrai una tangente verticale." Hai appunto un flesso a ta ng ente verticale.
"pier.armeli":
Se in quel punto la funzione non è derivabile, la sua derivata prima in quel punto sarà + o - $ oo $, e quindi avrai una tangente verticale. Hai appunto un flesso a ta ng ente verticale.
Non è assolutamente vero!
Hai mai sentito parlare di punti angolosi ?
"Orlok":
[quote="pier.armeli"] Se in quel punto la funzione non è derivabile, la sua derivata prima in quel punto sarà + o - $ oo $, e quindi avrai una tangente verticale. Hai appunto un flesso a ta ng ente verticale.
Non è assolutamente vero!
Hai mai sentito parlare di punti angolosi ?[/quote]
Oh, come no se ne ho sentito parlare!! Forse dovevo essere più preciso. Se in quel punto la funzione non è derivabile perché la sua derivata ti viene $ oo$ (sia a destra che a sinistra con lo stesso segno di infinito) allora hai il caso che ho illustrato (flesso ascendente o discendente a tangente verticale). Se non è derivabile per altre ragioni, ci sarà un punto angoloso (derivate diverse: cioè valori di derivata $a$ e $b$ con $a!=b$, di cui $a$ o $b$, ma non entrambi, può anche essere un infinito) o cuspide (infinito con segni discordi; alcuni lo classificano come caso estremo di punto angoloso) o altro.
Ripeto: se in $x_0$ $f(x)$ non è derivabile, ma cambia di concavità e le derivate in $x_0$ a destra e a sinistra sono entrambe $+oo$ oppure $-oo$ allora hai un flesso a tangente verticale.
Comunque sarebbe molto meglio se tu facessi un esempio pratico, visto che tutto quello che hai scritto non si trova nelle definizioni standard di punto di flesso, ma si applica mentre si fanno gli esercizi ...
Ma scusate ragazzi, è da ieri che parlate di questa cosa e nessuno ha citato la definizione di punto di flesso. Peccato originale di Orlok la cui domanda si può riformulare come:
Affinché un punto sia di flesso, è necessario che la funzione sia ivi derivabile?
Se per punto di flesso si intende un punto in cui c'è un cambio di convessità, allora non è necessaria la derivabilità. Se per punto di flesso si intende un punto che verifica certe condizioni con la retta tangente al grafico, allora è necessaria la derivabilità, altrimenti di che retta tangente stiamo parlando?
Di sicuro questa discussione si basa sull'aria fritta, se Orlok non ci dice la definizione di punto di flesso a cui fa riferimento lui.
Affinché un punto sia di flesso, è necessario che la funzione sia ivi derivabile?
Se per punto di flesso si intende un punto in cui c'è un cambio di convessità, allora non è necessaria la derivabilità. Se per punto di flesso si intende un punto che verifica certe condizioni con la retta tangente al grafico, allora è necessaria la derivabilità, altrimenti di che retta tangente stiamo parlando?
Di sicuro questa discussione si basa sull'aria fritta, se Orlok non ci dice la definizione di punto di flesso a cui fa riferimento lui.
"dissonance":
Ma scusate ragazzi, è da ieri che parlate di questa cosa e nessuno ha citato la definizione di punto di flesso. Peccato originale di Orlok la cui domanda si può riformulare come:
Affinché un punto sia di flesso, è necessario che la funzione sia ivi derivabile?
Se per punto di flesso si intende un punto in cui c'è un cambio di convessità, allora non è necessaria la derivabilità. Se per punto di flesso si intende un punto che verifica certe condizioni con la retta tangente al grafico, allora è necessaria la derivabilità, altrimenti di che retta tangente stiamo parlando?
Di sicuro questa discussione si basa sull'aria fritta, se Orlok non ci dice la definizione di punto di flesso a cui fa riferimento lui.
Però ritengo che a parte la definizione, quando le condizioni che ho descritto si verificano, allora graficamente c'è un punto di flesso. Poi se fai passare quel punto attraverso una particolare definizione, allora dipende ovviamente dalla definizione.
Certo, la definizione standard dovrebbe comunque essere relativa al cambiamento di concavità senza implicare la derivabilità .. è così su quasi tutti i libri .. e pure su internet ..
Il mio problema è questo:
Nel punto $x=0$ ho un punto angoloso. A guardare il grafico, però, la funzione è concava per tutti i punti che stanno sull'asse delle $x$ negative ed è convessa per i punti sull'asse delle $x$ positive. Si può allora dire che $x=0$ è un punto di flesso?
Nel punto $x=0$ ho un punto angoloso. A guardare il grafico, però, la funzione è concava per tutti i punti che stanno sull'asse delle $x$ negative ed è convessa per i punti sull'asse delle $x$ positive. Si può allora dire che $x=0$ è un punto di flesso?
"Orlok":
Il mio problema è questo:
Nel punto $x=0$ ho un punto angoloso. A guardare il grafico, però, la funzione è concava per tutti i punti che stanno sull'asse delle $x$ negative ed è convessa per i punti sull'asse delle $x$ positive. Si può allora dire che $x=0$ è un punto di flesso?
Se è un punto angoloso, non può essere di flesso, nonostante il comportamento del grafico. Bisogna verificare che sia effettivamente angoloso ...
Sarebbe meglio se tu scrivessi la funzione per poter capire di cosa si tratta ..
Ad esempio, se è definita a tratti, allora è quasi sicuramente angoloso; altrimenti se non è definita in $x=0$, sarà perché $x$ si trova al denominatore (?).. dimmelo tu! In quel caso le derivate verranno $oo$ e avrai la tangente verticale .. e probabilmente un flesso verticale .. o può anche essere una cuspide ..
Ok.
La funzione è
[tex]f(x) = \begin{cases}atan\ x & x\le 0\\
xe^{\frac{1}{x+1}} & x > 0 \end{cases}[/tex]
Se si fa $\lim_{x\to 0^-}\ f'(x)=1$ mentre $\lim_{x\to 0^+} f'(x)=e$
La funzione è
[tex]f(x) = \begin{cases}atan\ x & x\le 0\\
xe^{\frac{1}{x+1}} & x > 0 \end{cases}[/tex]
Se si fa $\lim_{x\to 0^-}\ f'(x)=1$ mentre $\lim_{x\to 0^+} f'(x)=e$
"Orlok":
Ok.
La funzione è
[tex]f(x) = \begin{cases}atan\ x & x\le 0\\
xe^{\frac{1}{x+1}} & x > 0 \end{cases}[/tex]
Se si fa $\lim_{x\to 0^-}\ f'(x)=1$ mentre $\lim_{x\to 0^+} f'(x)=e$
Allora è punto angoloso.
Perfetto. $x=0$ può essere punto di flesso nonostante $f(x)$ in $x=0$ non sia derivabile?
"Orlok":
Perfetto. $x=0$ può essere punto di flesso nonostante $f(x)$ in $x=0$ non sia derivabile?
Certamente! Guarda questa http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081218111552AATsLPq risposta su Yahoo! Answers che fa tre esempi perfetti di quello che ti interessa sapere (punti angolosi, flessi e cuspidi).
Lì, dice ad esempio che $ root(3)(x) $ non ha derivata finita in $x=0$ (non derivabile), ma ha un flesso verticale.
E sarebbe quindi lecito scrivere:
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso" ? O dovrei includere anche lo $0$ in quegli intervalli?
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso" ? O dovrei includere anche lo $0$ in quegli intervalli?
"Orlok":
E sarebbe quindi lecito scrivere:
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso" ? O dovrei includere anche lo $0$ in quegli intervalli?
Lo $0$ non andrebbe incluso perché in $0$ è sia concava sia convessa.
Ah allora va bene solo:
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso".
Giusto?
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso".
Giusto?
"Orlok":
Ah allora va bene solo:
"$f(x)$ convessa su [tex]]-\infty, 0[[/tex]; $f(x)$ concava su [tex]]0,+\infty[[/tex] con $x=0$ punto di flesso".
Giusto?
Si, è corretto.
Ok. Grazie 
"pier.armeli":???
Lo $0$ non andrebbe incluso perché in $0$ è sia concava sia convessa.
Che cosa significa "convessa in un punto"???
Continuo poi ad esprimere il mio disappunto per l'uso allegro della Matematica che avete fatto in questo topic.
Domanda: "Si può dire che il punto tot è di flesso?"
La risposta giusta è: "non so, prima dovresti dirci cosa intendi per punto di flesso".
Invece si è farneticato di "graficamente il punto è di flesso ma se si fa passare da una particolare definizione..." e cose del genere, tutte senza senso: se un oggetto non è definito, in matematica NON ESISTE. Orlok la definizione non ce l'ha detta, e quindi stiamo ancora qui a parlare delle cose che non esistono. Se per voi va bene, liberi di parlare in libertà; io però avviso che quella di questo topic NON è matematica.
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