Piccolo dubbio su notazione
ciao ragazzi sto studiando le successioni definite nel campo $CC$. Ho un dubbio riguardo la notazione che da il mio libro e volevo solo capire se è sbagliata la notazione del mio libro oppure quella che io sto per scrivere. Dallo studio delle successioni in analisi 1 so che una successione si dice assolutamente convergente se: $sum_(n = 1)^(+infty) |x_n|$ è convergente, cioè se la somma dei moduli è convergente. Ora dato che sto lavorando sul campo dei numeri complessi, dove è indotta la metrica euclidea, il mio libro usa questa stessa definizione per un numero $z_n, con zin CC$. Mi domando: non sarebbe meglio scrivere $sum_(n = 1)^(+infty) ||z_n||$ pur sapendo che considerati i singoli termini della successione si definisce la norma di essi?
P.S. se ho scritto qualche cavolata vi prego di perdonarmi
P.S. se ho scritto qualche cavolata vi prego di perdonarmi
Risposte
L'uso delle sbarrette singole, i.e. \(|\cdot |\), per denotare il modulo di un numero complesso non è scorretto ed è molto diffuso, perché il modulo è la naturale estensione del valore assoluto reale al campo complesso.
Di solito le doppie sbarrette, i.e. \(\lVert \cdot \rVert\), si usano per denotare una norma in uno spazio normato che non sia uno spazio numerico.
Di solito le doppie sbarrette, i.e. \(\lVert \cdot \rVert\), si usano per denotare una norma in uno spazio normato che non sia uno spazio numerico.
chiarissimo ed esauriente! 
grazie mille gugo
Un ultima domanda, io ho questa serie: $sum_(n = 1)^(+infty) (z^n)/n$ il libro mi dice che questa converge $AA z in CC: |z|=1$ escluso $z=1$. Perchè?
Io ho che per $z=1$: $sum_(n = 1)^(+infty) (z^n)/n=1+1/2+1/3+....$ e quindi converge. Ma che significa $|z|=1$? Cioè in che modo devo scegliere z?
grazie mille gugo Un ultima domanda, io ho questa serie: $sum_(n = 1)^(+infty) (z^n)/n$ il libro mi dice che questa converge $AA z in CC: |z|=1$ escluso $z=1$. Perchè?
Io ho che per $z=1$: $sum_(n = 1)^(+infty) (z^n)/n=1+1/2+1/3+....$ e quindi converge. Ma che significa $|z|=1$? Cioè in che modo devo scegliere z?
Sicuro? Secondo me quella converge per ogni $z\in CC\ :\ |z|\le 1$ escluso $z=1$. Se $z=1$ si ha la serie armonica $\sum_{n=1}^\infty 1/n$ che non converge!
Scrivere $|z|=1$ significa che devi prendere tutti i numeri complessi che hanno modulo $1$, e pertanto tutti i numeri complessi che si trovano sula circonferenza di centro l'origine e raggio $1$. Invece scrivere $|z|\le 1$ significa prendere tutti i numeri complessi all'interno del cerchio (o del disco) di centro l'origine e raggio $1$.
Scrivere $|z|=1$ significa che devi prendere tutti i numeri complessi che hanno modulo $1$, e pertanto tutti i numeri complessi che si trovano sula circonferenza di centro l'origine e raggio $1$. Invece scrivere $|z|\le 1$ significa prendere tutti i numeri complessi all'interno del cerchio (o del disco) di centro l'origine e raggio $1$.
ok grazie mille ciampax. Avevo capito la notazione ma ho confuso le serie infatti quella è la serie armonica che pur avendo termine infinitesimo tuttavia diverge scusami XD. Grazie comunque chiarissimo
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