Piccolo dubbio su logaritmo/esponenziale

[eterno_distratto]

Sfogliando gli appunti di Analisi del primo semestre mi è balzato all'occhio questo limite:

$\lim_{n \to \infty}root(n)(n)$ = $\lim_{n \to \infty}e^((1/3)ln(n))$

Da quello che ho capito se ho:

$a^b$ = $e^(b* ln a)$ = $ln a ^b$ = b ln a (Perchè?)

Non riesco a capire perchè sia il limite e sia il mio esempio li posso scrivere usando "e", e quella forma.Grazie in anticipo.

[Plepp]

Mah...La prima eguaglianza è falsa:
\[\lim \sqrt[n]{n}=\lim e^{\frac{\ln n}{n}}=1\]
mentre
\[\lim e^{\frac{\ln n}{3}}=\lim \sqrt[3]{n}=+\infty\]
La seconda pure:
\[a^b=e^{b\cdot \ln a}\neq \ln a^b= b\ln a \]
Detto questo, non ho capito quale sia il tuo problema

Ciao!

[Studente Anonimo]

Dalla definizione $a^x=b<=>x=log_ab$ con $a>0, a!=1$ e $b>0$. Quindi $a^(log_ab)=b$.

Poi per quanto riguarda $log_ab^n=nlog_ab$, qui si sfrutta una proprietà dei logaritmi che dovresti già conoscere.

[eterno_distratto]

Grazie per aver risposto comunque suppongo di aver preso male gli appunti, pensadoci bene credo di essermi confuso infatti il mio dubbio è relativo ad una proprietà dei limiti:

Sul libro c'è scritto che se esiste il $\lim_{x \to \x_0}g(x) * lg f(x)$ attraverso la regola della composizione del limite e le

proprietà del log e dell'esponenziale si ha $\lim_{x \to \x_0}e^(g(x) * lg f (x) )$ = $e^((\lim_{x \to \x_0}) g(x) * lg f(x))$

e quindi $\lim_{x \to \x_0}(f(x))^(g(x))$ = $e^((\lim_{x \to \x_0}) g(x) * lg f(x))$ ;

Non riesco a capire la connessione tra il limite, il logaritmo (non dovrebbe essere ln visto che ha base e?) ed il numero di nepero stesso.

Poi dovrebbe valere per ogni tipo di limite $\lim_{x \to \x_0}(f(x))^(g(x))$ ??

Infine pensavo che su quella successione che ho scritto nel primo post fosse stata applicata proprio questa regola.