Piccolo dubbio su convergenza assoluta

[GiovanniP1]

Per studiare assolutamente questa serie posso applicare il valore assoluto alla sola $x$?

$sum_(n = 0)^(+oo) n^2/(e^(nx)+1)$

in questo modo:

$sum_(n = 0)^(+oo) n^2/(e^(n|x|)+1)$

o in quest'altro?

$|sum_(n = 0)^(+oo) n^2/(e^(nx)+1)|$

[dissonance]

Quella serie è già a termini positivi, quindi c'è poco da applicare valori assoluti. Attento che la seconda serie, quella col valore assoluto alla sola $x$, è diversa dalla serie di partenza, descrive un'altra funzione.

[GiovanniP1]

"dissonance":Quella serie è già a termini positivi, quindi c'è poco da applicare valori assoluti. Attento che la seconda serie, quella col valore assoluto alla sola $x$, è diversa dalla serie di partenza, descrive un'altra funzione.

Ok quindi non posso applicare il valore assoluto alla $x$...
però per esempio per studiare la convergenza assoluta della serie logaritmica mi ricordo di aver fatto una cosa del genere:

$sum_(n = 1)^(+oo) |x|^n/n$

è sbagliato anche in questo caso?
e poi passavo al criterio della radice...

[dissonance]

Ma no, sono due cose diverse. Guarda, questa serie

$sum {x^n}/{n}$

NON ha i termini tutti positivi, prendi per esempio $x=-1$ e vedi che ce ne sono di negativi. Allora si considera la serie dei valori assoluti

$sum {|x^n|}/{|n|}$

che si riscrive nella forma che hai scritto. E' solo un puro caso che salti fuori il valore assoluto alla $x$.

Diversamente, la prima serie che hai portato ad esempio ha i termini tutti positivi per qualsiasi $x$, quindi cosa cambia nel prenderne il valore assoluto? Stai attento, rivediti bene la teoria perché questi errori ad un esame sono piuttosto gravi.

[GiovanniP1]

"dissonance":Diversamente, la prima serie che hai portato ad esempio ha i termini tutti positivi per qualsiasi $x$, quindi cosa cambia nel prenderne il valore assoluto?

Infatti mi sembrava un po' strano, l'esercizio richiedeva convergenza puntuale, assoluta, totale e uniforme, quindi avevo pensato erroneamente che in qualche modo dovevo mettercelo un
valore assoluto per l'assoluta.. altrimenti era come studiare la puntuale. E invece quella che si ottiene è tutta un'altra serie.
Ok grazie ho capito

[dissonance]

In questo caso infatti la convergenza assoluta e la convergenza puntuale sono la stessa cosa.

[GiovanniP1]

Posso farti un'altra domanda?
Sono passato allo studio della convergenza totale e le due cose che devo verificare affinche sia convergente totalmente sono che la funzione sia limitata in $]0, +oo) $ e che la serie dei sup converga a 0...
solo che sto incontrando un po' di difficoltà a graficarmi questa funzione... cioè come devo comportarmi col parametro $x$? Lo considero solo come un numero e quindi essenzialmente mi studio $n^2/(e^(n)+1)$???
e poi per il sup in $]0, +oo) $ come faccio a determinarlo?

[dissonance]

No, Giovanni, è sbagliato. Da dove ti viene di porre così arbitrariamente $x=1$?

Devi calcolare il sup di una funzione, non mi pare ci siano particolari trucchi: o calcoli la derivata prima e ne studi il segno, oppure ti fai furbo e osservi che quella funzione è decrescente per ogni $n$, per altra via.

[GiovanniP1]

"dissonance":o calcoli la derivata prima e ne studi il segno, oppure ti fai furbo e osservi che quella funzione è decrescente per ogni $n$, per altra via.

Inizialmente avevo pensato che essendo $x$ un arbitrario parametro maggiore di $0$ ed essendo l'esponenziale al denominatore quella funzione può solo decrescere,
allora il sup mi veniva $n^2/2$ di cui la serie diverge... e non c'è convergenza totale ma poi con un $0
Solo che poi ho pensato a quel parametro $x$ e il modo in cui può influenzare il grafico della funzione... e mi sono venuti un paio di dubbi: a voler disegnare il grafico viene
in tre dimensioni perchè c'è anche la $x$?? Però se è così, il ragionamento che ho fatto sopra non funziona più perchè al variare di $x$ la funzione non è sempre decrescente per ogni n
ma inizialmente cresce per arrivare a un punto di massimo e per poi decrescere... come si ragiona in questi casi?

[dissonance]

"GiovanniP":Inizialmente avevo pensato che essendo $x$ un arbitrario parametro

E' qua l'errore. Non ti confondere con $n$ ed $x$, a volte devi fare variare la prima a volte la seconda. Adesso hai implicitamente fissato $n$ e stai immaginando di fare viaggiare $x$ lungo $(0, \infty)$: quale è l'estremo superiore dei valori assunti dai numeri $\frac{n^2}{e^{nx}+1}$ (ricordo ancora una volta che $n$ è ora un numero naturale fissato)?

Nel dubbio, usa i metodi standard del calcolo che sono così potenti. Deriva e studia il segno della derivata. Non ne risultano conti troppo feroci.

[GiovanniP1]

"dissonance":Adesso hai implicitamente fissato $n$ e stai immaginando di fare viaggiare $x$ lungo $(0, \infty)$: quale è l'estremo superiore dei valori assunti dai numeri $\frac{n^2}{e^{nx}+1}$ (ricordo ancora una volta che $n$ è ora un numero naturale fissato)?

l'estremo superiore si ha quando x tende a $0$ giusto?

Questa parte non è corretta?

"GiovanniP":allora il sup mi veniva $n^2/2$ di cui la serie diverge... e non c'è convergenza totale ma poi con un $0

[dissonance]

Sì, si, è tutto giusto, solo che puoi esprimerti un po' meglio, questo dicevo. Da come scrivevi nel post precedente non si capiva se avevi chiara la teoria, e un professore di matematica serio potrebbe farti pagare care cose del genere.

Comunque, visto che parlavi di visualizzare graficamente le successioni di funzioni, ti consiglio di usare un software di calcolo per disegnare dei grafici animati. Qui c'è un esempio con del codice per Maple 11.

Un altro esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#360879

[GiovanniP1]

Grazie dei consigli, spero di imparare ad utilizzare al più presto un software di calcolo... prossimamente per alcune materie dovrei utilizzare matlab ma so che è più indicato per calcolo numerico e matrici
non so se si possa utlizzare anche per serie di funzioni e cose di questo tipo...

Ultima cosa spero di non abusare troppo della tua disponibilità...
Sto completando l'esercizio studiando la convergenza uniforme ed il ragionamento che sto seguendo è questo:

Per il teorema di Weierstrass so che c'è uniforme nell'intervallo $[h, +oo)$ ma mi resta il dubbio in $(0, h)$ allora procedo in questo modo, suppongo per assurdo che ci sia convergenza uniforme e
sfrutto la condizione di Cauchy che dice che qualunque $epsilon > 0$ esiste un $ni in NN$ tale che presi $n>ni$ e un qualunque $p in NN$ si ha che
$|(n+1)^2/(e^((n+1)x)+1)+........+(n+p)^2/(e^((n+p)x)+1)| < epsilon$ passando al limite per $x->0$ e $n->+oo$ la scrittura precedente è falsa e quindi non c'è uniforme in $(0, h)$ e ho concluso l'esercizio... se invece ogni addendo tenedeva a $0$ allora concludevo che c'era uniforme...

E corretto?? Grazie ancora

[dissonance]

In primo luogo MATLAB si può usare per disegnare grafici di successioni di funzioni, per esempio con questo codice:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#400120

(grazie ad umaga).

Venendo al dunque, purtroppo non capisco bene cosa hai fatto, non mi sembra proprio corretto. Forse, come prima, l'idea che c'è dietro è anche giusta ma se ti esprimi così un professore di matematica mette subito mano alla matita rossa. Che significa "passando al limite per $n\to \infty, x \to 0$"? Al limite devi mandare una variabile alla volta, se ne mandi due devi specificare in che ordine lo fai:

se prendi il limite di $frac{n^2}{e^{nx}+1}$ prima per $n\to \infty$ poi per $x \to 0$ ottieni

$lim_{x \to 0}lim_{n \to \infty} frac{n^2}{e^{nx}+1}= lim_{x \to 0} 0 = 0$;

se prendi il limite prima per $x\to 0 $ poi per $n \to infty$ ottieni

$lim_{n \to infty}lim_{x \to 0} frac{n^2}{e^{nx}+1}=lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2}=+infty$.

Vedi che sono diversi? Ciò significa che una frase tipo "prendendo il limite per $n \to \infty$ e $x \to 0$" è ambigua: dovresti dire al lettore anche in quale ordine prendi questi limiti. (*)

Invece, facciamo una cosa più semplice. Sicuramente ti ricordi che una serie numerica $sum_{n=1}^infty a_n$ è convergente solo se $a_n \to 0$. Similmente, una serie di funzioni $sum_{n=1}^infty f_n(x)$ converge uniformemente rispetto ad $x$ in un insieme $I$ solo se $f_n(x)\to 0$ uniformemente per ogni $x \in I$. (Prova a dimostrarlo, per esercizio). Possiamo chiamare questo fatto condizione necessaria alla convergenza uniforme.

Allora volendo dimostrare che la nostra serie $sum_{n=1}^infty \frac{n^2}{e^{nx}+1}$ NON converge uniformemente in $(0, h)$ possiamo mostrare che non è verificata la condizione necessaria alla convergenza uniforme. Ecco, questo mi sembra molto più abbordabile, visto anche che hai già calcolato il sup di $\frac{n^2}{e^{nx}+1}$ per $x\in (0, h)$.

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(*) Per inciso, esistono teoremi studiati appositamente per analizzare queste situazioni. Forse a lezione hai visto il teorema di inversione dei limiti.

[GiovanniP1]

"dissonance":Allora volendo dimostrare che la nostra serie $sum_{n=1}^infty \frac{n^2}{e^{nx}+1}$ NON converge uniformemente in $(0, h)$ possiamo mostrare che non è verificata la condizione necessaria alla convergenza uniforme. Ecco, questo mi sembra molto più abbordabile, visto anche che hai già calcolato il sup di $\frac{n^2}{e^{nx}+1}$ per $x\in (0, h)$.

Effettivamente sul mio libro c'è un corollario "condizione necessaria alla convergenza uniforme" che mi sono andato a riguardare tra le altre cose...

dimostrare che $lim_(n->+oo) n^2/2=+oo != 0$ è molto più pratico e semplice in questo caso.
Grazie.