Piccolo chiarimento sulla misura di Lebesgue
Buondì! 
(scusate per il maiuscolo ma non ho capito come si fa a scrivere "inf" e "sup" senza che vengano presi per $inf$ e $sup$)
Nel caso in cui si possa definire la misura di Lebesgue, $K$ è la chiusura di $X$? Se invece le due misure non coincidono, $K$ è semplicemente un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$.
Grazie!
Dati un insieme $X \subset RR^n$, un insieme aperto $A \sup X$ ed un insieme compatto $K \subset X$, si definisce misura esterna di Lebesgue il numero
$\mu^e (X)= INF_A \mu(A)$
e misura interna di Lebesgue il numero
$\mu^i (X)= SUP_K \mu(K)$
Se $\mu^e = \mu^i$, allora $X$ è misurabile secondo Lebesgue e $\mu^e$ si chiama misura di Lebesgue.
(scusate per il maiuscolo ma non ho capito come si fa a scrivere "inf" e "sup" senza che vengano presi per $inf$ e $sup$)
Nel caso in cui si possa definire la misura di Lebesgue, $K$ è la chiusura di $X$? Se invece le due misure non coincidono, $K$ è semplicemente un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$.
Grazie!
Risposte
"mozzarella_girl":
Buondì!
Girella!
"mozzarella_girl":Dati un insieme $X \subset RR^n$, un insieme aperto $A \sup X$ ed un insieme compatto $K \subset X$, si definisce misura esterna di Lebesgue il numero
$\mu^e (X)= INF_A \mu(A)$
e misura interna di Lebesgue il numero
$\mu^i (X)= SUP_K \mu(K)$
Se $\mu^e = \mu^i$, allora $X$ è misurabile secondo Lebesgue e $\mu^e$ si chiama misura di Lebesgue.
Nel caso in cui si possa definire la misura di Lebesgue, $K$ è la chiusura di $X$? Se invece le due misure non coincidono, $K$ è semplicemente un sottoinsieme chiuso e limitato di $X$.
Beh, no.
\(K\) è un generico compatto contenuto in \(X\), mentre \(\overline{X}\) (chiusura di \(X\)) è un chiuso contenente \(X\).
Chiaramente, se \(X\) è esso stesso compatto, ti è lecito \(K=X\): tale compatto, essendo il più grande contenuto in \(X\), realizza certamente il \(\sup_{K\subseteq X} \mu (K)\), perciò hai \(\mu^e(X) = \sup_{K\subseteq X} \mu (K) = \mu (X)\).
"gugo82":
Beh, no.
K è un generico compatto contenuto in X, mentre X¯¯¯ (chiusura di X) è un chiuso contenente X.
Chiaramente, se X è esso stesso compatto, ti è lecito K=X: tale compatto, essendo il più grande contenuto in X, realizza certamente il supK⊆Xμ(K), perciò hai μe(X)=supK⊆Xμ(K)=μ(X).
La chiusura, se ho capito bene la definizione, dovrebbe essere l'insieme stesso più i suoi punti di frontiera. Preso $X$ chiuso, la sua chiusura è $X$ stesso, no? Quindi mi sembra di poter concludere che se prendo un insieme compatto $K$, $K$ è la chiusura di sé stesso.
Sotto c'è il ragionamento che mi ha portato a dire che $K$ è la chiusura di $X$. Prima di esporlo però voglio chiarire una cosa (ho il sospetto sia la ragione per cui il mio ragionamento è sbagliato): dire la misura di un sottoinsieme coincide con la misura dell'insieme superiore, indica che i due insiemi coincidono?
Dunque, dato che se è possibile definire la misura di Lebesgue, la misura di $K$ coincide con quella di $X$, la conclusione è che $X$ è compatto perché coincide con $K$ da cui, per le ragioni scritte sopra, $K$ è la chiusura di $X$... o $X$ è la chiusura di sè stesso.
Sinceramente stento a capire cosa vuoi fare/sapere...
Hmmm... lo so di essere poco chiara a volte. 
Comunque alla fine quello che vorrei sapere è: se $A$ è un sottoinsieme di $M$, se la misura di $A$ coincide con quella di $M$, allora $A-=M$?
Comunque alla fine quello che vorrei sapere è: se $A$ è un sottoinsieme di $M$, se la misura di $A$ coincide con quella di $M$, allora $A-=M$?
In generale no.
Ad esempio, se \(M=[0,1]\) ed \(A=]0,1[\subseteq M\), allora:
\[
\begin{split}
\mu(M) &=\mu^i(M) &\text{(perché } M \text{ è compatto)}\\
&=1 &\\
&=\mu^e(A) &\\
&=\mu(A) &\text{(perché } A \text{ è aperto),}
\end{split}
\]
ma \(A\neq M\) ed anzi \(\mu(M\setminus A )=0\); quindi in generale il problema:
non ha per soluzione solo \(M\).
Nota, però, che nell'esempio di cui sopra \(A\) è aperto mentre \(M\) è chiuso (e limitato, dunque compatto). questo potrebbe suggerire che, se nel problema precedente restringi la classe dei sottoinsiemi di \(M\) in cui scegliere \(E\), è possibile concludere l'unicità della soluzione di \(\mu(E)=\mu(M)\).
Ad esempio, nel caso in esame, il problema:
è risolto solo da \(M\)... Ma ciò vale del tutto in generale, i.e. nel caso in cui \(M\subseteq \mathbb{R}^N\) è un compatto (perché? Qui intervengono alcune questioni topologiche... Prova a ragionarci sopra).
Ad esempio, se \(M=[0,1]\) ed \(A=]0,1[\subseteq M\), allora:
\[
\begin{split}
\mu(M) &=\mu^i(M) &\text{(perché } M \text{ è compatto)}\\
&=1 &\\
&=\mu^e(A) &\\
&=\mu(A) &\text{(perché } A \text{ è aperto),}
\end{split}
\]
ma \(A\neq M\) ed anzi \(\mu(M\setminus A )=0\); quindi in generale il problema:
Determinare tutti gli insiemi misurabili \(E\subseteq M\) tali che \(\mu(E)=\mu(M)\)
non ha per soluzione solo \(M\).
Nota, però, che nell'esempio di cui sopra \(A\) è aperto mentre \(M\) è chiuso (e limitato, dunque compatto). questo potrebbe suggerire che, se nel problema precedente restringi la classe dei sottoinsiemi di \(M\) in cui scegliere \(E\), è possibile concludere l'unicità della soluzione di \(\mu(E)=\mu(M)\).
Ad esempio, nel caso in esame, il problema:
Determinare tutti i compatti \(K\subseteq M\) tali che \(\mu(K)=\mu(M)\)
è risolto solo da \(M\)... Ma ciò vale del tutto in generale, i.e. nel caso in cui \(M\subseteq \mathbb{R}^N\) è un compatto (perché? Qui intervengono alcune questioni topologiche... Prova a ragionarci sopra).
Allora considerando la definizione di misura di Lebesgue che ho dato all'inizio, non è detto che $X -= K$. Nella definizione $X$ è un insieme generale e non necessariamente compatto, giusto? Quindi anche se la sua misura coincide con la misura di un suo sottoinsieme compatto $K$ non è detto che $K -= X$.
Sinceramente non ho del tutto chiara la domanda. Intendi: nel caso in cui $M \subseteq RR^n$ è un compatto, allora tutti i suoi sottoinsiemi compatti che hanno misura identica, coincidono con $M$ stesso?
"gugo82":
Ma ciò vale del tutto in generale, i.e. nel caso in cui M⊆RN è un compatto (perché? Qui intervengono alcune questioni topologiche... Prova a ragionarci sopra).
Sinceramente non ho del tutto chiara la domanda. Intendi: nel caso in cui $M \subseteq RR^n$ è un compatto, allora tutti i suoi sottoinsiemi compatti che hanno misura identica, coincidono con $M$ stesso?
"mozzarella_girl":
Allora considerando la definizione di misura di Lebesgue che ho dato all'inizio, non è detto che $X -= K$. Nella definizione $X$ è un insieme generale e non necessariamente compatto, giusto? Quindi anche se la sua misura coincide con la misura di un suo sottoinsieme compatto $K$ non è detto che $K -= X$.
Esatto.
In assenza di ipotesi su \(X\) (a parte la misurabilità, ovviamente), l'unica cosa che puoi dire se \(\mu(K)=\mu(X)\) è che \(\mu(X\setminus K)=0\), cioé che \(K\) differisce da \(X\) per un insieme trascurabile.
"mozzarella_girl":
[quote="gugo82"] Ma ciò vale del tutto in generale, i.e. nel caso in cui M⊆RN è un compatto (perché? Qui intervengono alcune questioni topologiche... Prova a ragionarci sopra).
Sinceramente non ho del tutto chiara la domanda. Intendi: nel caso in cui $M \subseteq RR^n$ è un compatto, allora tutti i suoi sottoinsiemi compatti che hanno misura identica, coincidono con $M$ stesso?[/quote]
Sì.
Le questioni topologiche mi sfuggono... 
il problema è che il professore non ha assolutamente introdotto i concetti base della topologia (per dire: nella definizione di misura di L. saltano fuori i compatti ma non ha mai spiegato cosa siano).
Grazie della pazienza e delle spiegazioni.
il problema è che il professore non ha assolutamente introdotto i concetti base della topologia (per dire: nella definizione di misura di L. saltano fuori i compatti ma non ha mai spiegato cosa siano).Grazie della pazienza e delle spiegazioni.
Per curiosità, cosa studi?
Ad ogni modo, supponi che \(X\) sia compatto e che \(K\subset X\) sia un compatto propriamente incluso in \(X\), cioè tale che \(X\setminus K\neq \varnothing\).
Per riuscire a provare che \(\mu(K)\neq \mu(X)\) ti basta far vedere che \(\mu(X\setminus K)>0\)... Ci riesci?
Ad ogni modo, supponi che \(X\) sia compatto e che \(K\subset X\) sia un compatto propriamente incluso in \(X\), cioè tale che \(X\setminus K\neq \varnothing\).
Per riuscire a provare che \(\mu(K)\neq \mu(X)\) ti basta far vedere che \(\mu(X\setminus K)>0\)... Ci riesci?
"gugo82":
Per curiosità, cosa studi?
Fisica. Capisco che si perderebbe troppo tempo a fare le cose approfonditamente (Analisi II è un corso trimestrale...) però non è il metodo di studio che prediligo...
"gugo82":
Ad ogni modo, supponi che X sia compatto e che K⊂X sia un compatto propriamente incluso in X, cioè tale che X∖K≠∅.
Per riuscire a provare che μ(K)≠μ(X) ti basta far vedere che μ(X∖K)>0... Ci riesci?
X\K sono i soli elementi di X che non appartegono a K
Se $\mu(K) \ne \mu(X)$ significa che $\mu(X)= \mu(K)+ ... $ e quel qualcosa che rimane è proprio il complementare di K da cui $\mu(X\K)>0$?
Leggi bene ciò che ho scritto... Perché stai facendo decisamente il contrario di ciò che ti chiedevo. 
@gugo: forse mi sfugge qualcosa, ma se \(X= K\cup T\) con \(K\) e \(T\) compatti disgiunti non vuoti e \(T\) di misura nulla? (Per capirci, \(K= [2,3]\) e \(T\subset [0,1]\) ternario di Cantor.)
Non sono sicura di come possa dimostare che $X\K$ non è di misura nulla... forse perché non è l'insieme vuoto?
"Rigel":
@gugo: forse mi sfugge qualcosa, ma se \(X= K\cup T\) con \(K\) e \(T\) compatti disgiunti non vuoti e \(T\) di misura nulla? (Per capirci, \(K= [2,3]\) e \(T\subset [0,1]\) ternario di Cantor.)
E hai perfettamente ragione Rigello.
Errore da pivello, scusate.
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