Piccolo chiarimento su spazi Lp
Salve a tutti, e grazie da subito per la vostra disponibilità che mi ha sempre aiutato (dopo molte volte che chiedo aiuti in questo forum è doveroso dirlo!)
Non mi è chiara un affermazione che fa il mio libro, la dice senza spiegare il perchè, come se fosse una cosa ovvia:
Se $f,g in L^1 (RR)$ e $fg in L^1 (RR)$ (o equivalentemente se $ f,g in L^1 (RR) nn L^2 (RR)$ ) allora... ecc
Non ho capito perchè le due affermazioni sono equivalenti. Potreste darmi un input? Thanks!
Non mi è chiara un affermazione che fa il mio libro, la dice senza spiegare il perchè, come se fosse una cosa ovvia:
Se $f,g in L^1 (RR)$ e $fg in L^1 (RR)$ (o equivalentemente se $ f,g in L^1 (RR) nn L^2 (RR)$ ) allora... ecc
Non ho capito perchè le due affermazioni sono equivalenti. Potreste darmi un input? Thanks!
Risposte
Quali sono le due affermazioni?
scusa, mi sono espresso male: non sono affermazioni, sono... concetti! (sono anche quasi le 3 di notte eh!)
Se [tex]$f,g\in L^1\cap L^2$[/tex], allora la disuguaglianza di C-S implica [tex]$fg\in L^1$[/tex], quindi sull'implicazione [tex]$\Leftarrow$[/tex] non ci piove.
D'altra parte mi sembra un po' più difficile far vedere che [tex]$f,g,fg\in L^1$[/tex] implichi [tex]$f,g \in L^2$[/tex]... Al momento non mi sovviene nulla.
D'altra parte mi sembra un po' più difficile far vedere che [tex]$f,g,fg\in L^1$[/tex] implichi [tex]$f,g \in L^2$[/tex]... Al momento non mi sovviene nulla.
sì, cauchy schwartz non fa una piega.
per l'altra implicazione però in effetti non mi vengono in mente controesempi.
per l'altra implicazione però in effetti non mi vengono in mente controesempi.
Allora... pare che il libro abbia torto... se il mio cervello alle 4 e mezzo di notte non mi inganna (e dopo questa vo a nanna xD)
Se non sbaglio questo è un controesempio: ditemi se è corretto.
se scelgo
$f(x) = \frac{1}{sqrt(x)}$ in (0,1] e 0 altrove, e
$g(x) = sqrt(x)$ in (0,1] e 0 altrove, allora
$||f||_1 < infty$
$||g||_1 < infty$
$||fg||_1 < infty$
MA
$||f|| notin L^2(RR)$
giusto?
Se non sbaglio questo è un controesempio: ditemi se è corretto.
se scelgo
$f(x) = \frac{1}{sqrt(x)}$ in (0,1] e 0 altrove, e
$g(x) = sqrt(x)$ in (0,1] e 0 altrove, allora
$||f||_1 < infty$
$||g||_1 < infty$
$||fg||_1 < infty$
MA
$||f|| notin L^2(RR)$
giusto?
Hai fatto "la notte di $L^p$", eh? (Sembra il titolo di un film horror! 
).
Comunque, va bene. Ma pensandoci meglio c'era un esempio molto più cretino! Basta infatti prendere $f\in L^1(Omega), f notin L^2(Omega)$ e $g$ identicamente nulla. Infatti, la cosa che si può dimostrare è oggetto di questo topic, con dimostrazione di ViciousGoblin (che, ammetto, non ho ancora letto
) :
https://www.matematicamente.it/forum/car ... 70155.html
). Comunque, va bene. Ma pensandoci meglio c'era un esempio molto più cretino! Basta infatti prendere $f\in L^1(Omega), f notin L^2(Omega)$ e $g$ identicamente nulla. Infatti, la cosa che si può dimostrare è oggetto di questo topic, con dimostrazione di ViciousGoblin (che, ammetto, non ho ancora letto
) :https://www.matematicamente.it/forum/car ... 70155.html
@dissonance: Lo sai che ti voglio bene... Soprattutto quando te ne esci con dei controesempi così.
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