Piccolo aiuto su somma di serie geometriche
Buongiorno,
Scrivo perchè ho un piccolo dubbio sulla risoluzione di serie geometriche. Spero abbiate pazienza di darmi questa piccola delucidazione.
Ho una serie del tipo Sn: (1/5)^k + (1/9)^K
composta da una soma di due serie convergenti.
Per trovare la somma totale, basta che addiziono le somme di ciascuna delle due serie? ovvero (5/4) + (9/8)??
Mi scuso in anticipo se non ho utilizzato il generatore di formule, ci ho provato ma ho incontrato difficoltà per scrivere questo semplice quesito.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Saluti
Scrivo perchè ho un piccolo dubbio sulla risoluzione di serie geometriche. Spero abbiate pazienza di darmi questa piccola delucidazione.
Ho una serie del tipo Sn: (1/5)^k + (1/9)^K
composta da una soma di due serie convergenti.
Per trovare la somma totale, basta che addiziono le somme di ciascuna delle due serie? ovvero (5/4) + (9/8)??
Mi scuso in anticipo se non ho utilizzato il generatore di formule, ci ho provato ma ho incontrato difficoltà per scrivere questo semplice quesito.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Saluti
Risposte
Non ho capito: la tua serie è
[tex]$\sum_{k=0}^\infty\left[\left(\frac{1}{5}\right)^k+\left(\frac{1}{9}\right)^k\right]$[/tex] ?
[tex]$\sum_{k=0}^\infty\left[\left(\frac{1}{5}\right)^k+\left(\frac{1}{9}\right)^k\right]$[/tex] ?
Si esatto, è questa la serie che ho postato come esempio.
Qualcuno sa dirmi se devo semplicemente sommare le due somme per ottenere la somma totale??
Qualcuno sa dirmi se devo semplicemente sommare le due somme per ottenere la somma totale??
Secondo te? 
Hai provato a giustificarlo come passaggio?
Hai provato a giustificarlo come passaggio?
Come avevo scritto sul post sopra, siccome la somma di una serie convergente è Sm=1/(1-q) , risulta che:
- La somma della prima serie è 5/4
- La somma della seconda serie è 9/8
- Penso che la somma total della serie sia 5/4 + 9/8 = 19/8
E' un ragionamento corretto?
Oppure vi sono altre regole da applicare?
- La somma della prima serie è 5/4
- La somma della seconda serie è 9/8
- Penso che la somma total della serie sia 5/4 + 9/8 = 19/8
E' un ragionamento corretto?
Oppure vi sono altre regole da applicare?
Quello che dici tu è giusto se la serie si presenta nella forma $\sum_k a_k+\sum_k b_k$. Perché è vero (in questo caso) anche al viceversa? Dovresti, in qualche modo, verificare prima che la serie che ho scritto io converga.
@ ciampax: grazie per la risposta , ma sono ancora confuso: la serie che hai appena postato: somma di due serie geometriche convergenti non è equivalente della serie esempio che hai indicato nel secondo post del topic (la serie somma di due serie convergenti)?
In poche parole come si calcola la somma totale di una serie composta da un addizione di due serie geometriche convergenti?
Basta addizionare le somme di ciascuna singola sere? Se vi è il segno - tra le due serie geometriche, per ottenere la somma totale, basterà fare la sottrazione?
In poche parole come si calcola la somma totale di una serie composta da un addizione di due serie geometriche convergenti?
Basta addizionare le somme di ciascuna singola sere? Se vi è il segno - tra le due serie geometriche, per ottenere la somma totale, basterà fare la sottrazione?
Sì che lo è... ma perché? Quello che volevo sottolineare io è il fatto seguente: se una serie può scriversi come somma di due serie allora si ha che se tali serie convergono, converge anche la serie somma. Il viceversa però non è vero a priori: potresti avere una serie che si ottiene come somma di serie divergenti che tuttavia converge. Prova a pensare alle serie i cui termini generali sono dati da [tex]$a_n=\frac{1}{n},\ b_n=\frac{1}{n+1}$[/tex] (entrambe divergenti in quanto serie armoniche) e alla serie di termine generale [tex]$c_n=a_n-b_n=\frac{1}{n(n+1)}$[/tex] serie di Mengoli, che converge.
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