Piccolissimo dubbio su un limite
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio sul limite di $ x $ tendente a $ 0 $ di $ (\sinx)/x $, io ho ragionato così: scegliendo valori del dominio prossimi a $ 0 $ mi accorgo che la quantità $ \frac{\sinx}{x} $ si avvicina ad $ 1 $. Per dimostrare che quest'ultimo è effettivamente il limite, devo risolvere il sistema di disequazioni $ 1-\epsilon<\frac{\sinx}{x}<1+\epsilon $ per la $ x $, e chiamo questa soluzione $ \delta $. Se $ \delta $ esiste, allora il limite è dimostrato. E' giusto il ragionamento? N.B. : so che non è la maniera classica di dimostrare questo limite, e che il sistema non si risolve con normale algoritmo per le disequazioni, è solo che sto ancora cercando di farmi entrare la definizione in testa.
Grazie
Grazie
Risposte
Un'altra cosa: dato che sono un neofita dell'analisi e le domande che faccio sono banali, dovrei farle nel forum delle superiori o qui va bene?
Qui è perfetto.
Una domanda non è mai banale, semma lo è la risposta.
Il punto di partenza mi pare corretto (il famoso $ \epsilon $ piccolo a piacere). Però io modificherei leggermente la tua disequazione:
$ 1 - \epsilon(\delta) < {\sin (x \pm \delta)} / {x \pm \delta} < 1 + \epsilon(\delta) $
Da interpretarsi in questo senso:
1. facciamo tendere $ \delta $ a $ 0 $ (se da destra o da sinistra poi si vedrà);
2. come reagisce la funzione? Ovvero: quanto vale $ \epsilon(\delta) $?
3. se diminuisce al diminuire di $ \delta $ e può diventare piccolo a piacere allora il limite è dimostrato.
Era questa la risposta che cercavi?
Una domanda non è mai banale, semma lo è la risposta.
Il punto di partenza mi pare corretto (il famoso $ \epsilon $ piccolo a piacere). Però io modificherei leggermente la tua disequazione:
$ 1 - \epsilon(\delta) < {\sin (x \pm \delta)} / {x \pm \delta} < 1 + \epsilon(\delta) $
Da interpretarsi in questo senso:
1. facciamo tendere $ \delta $ a $ 0 $ (se da destra o da sinistra poi si vedrà);
2. come reagisce la funzione? Ovvero: quanto vale $ \epsilon(\delta) $?
3. se diminuisce al diminuire di $ \delta $ e può diventare piccolo a piacere allora il limite è dimostrato.
Era questa la risposta che cercavi?
@ siddy98: Quella che vai intrapreso non è la strada più efficiente per dimostrare che \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\), perché la disequazione \(1-\varepsilon < \frac{\sin x}{x}\) non è risolvibile elementarmente (in altre parole, non puoi trovare una "formula" che individui le soluzioni dell'equazione associata \(1-\varepsilon = \frac{\sin x}{x}\) e perciò non sai rappresentare esplicitamente l'insieme delle soluzioni della disequazione).
Stante questa impossibilità, di solito si dimostra che \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\) usando il teorema dei carabinieri ed alcune disuguaglianze derivanti da fatti di Geometria Elementare.
@ galessandroni: Sinceramente, non capisco quel \(\delta\) cosa c'entri in tutto questo, dato che è \(x\) a dover tendere a zero...
Stante questa impossibilità, di solito si dimostra che \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\) usando il teorema dei carabinieri ed alcune disuguaglianze derivanti da fatti di Geometria Elementare.
@ galessandroni: Sinceramente, non capisco quel \(\delta\) cosa c'entri in tutto questo, dato che è \(x\) a dover tendere a zero...
"gugo82":
@ siddy98: Quella che vai intrapreso non è la strada più efficiente per dimostrare che \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\), perché la disequazione \(1-\varepsilon < \frac{\sin x}{x}\) non è risolvibile elementarmente (in altre parole, non puoi trovare una "formula" che individui le soluzioni dell'equazione associata \(1-\varepsilon = \frac{\sin x}{x}\) e perciò non sai rappresentare esplicitamente l'insieme delle soluzioni della disequazione).
Sì, infatti ho scritto che sapevo che non era il modo classico di dimostrarlo. Il mio dubbio era se il ragionamento fosse, in linea teorica, corretto o meno fino a quel punto
In linea teorica sì, è un ragionamento sicuramente corretto; però è inattuabile nella pratica. 
"gugo82":
[...]
@ galessandroni: Sinceramente, non capisco quel \(\delta\) cosa c'entri in tutto questo, dato che è \(x\) a dover tendere a zero...
Scusate, spesso mi capita di pensare alcune cose e scriverne altre.
Nella mia mente intendevo $ x = 0 $ e $ \delta \rightarrow 0 $, ma - come evidente - questo equivale a $ x \rightarrow 0 $.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo