Piccoli dubbi sul calcolo dei limiti

[Calabi]

Tre domandine per sapere se i miei procedimenti sono corretti...

[*:2q35tuw2]La prima è: quando in una somma di limiti uno di essi è inesistente come si procede? Lo si può scartare?
Ad esempio nella successione che segue posso dire:
$\lim_{n \to \infty}(n^3 - sen(n))/(2n^3+(-1)^n-1)=lim_{n \to \infty}n^3/(2n^3-1)=1/2$ ?[/*:2q35tuw2]

[*:2q35tuw2]La seconda domanda.
Nei casi di questo tipo (frazioni con un logaritmo con la stessa base a numeratore e uno a denominatore):
$\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)$
Basta ragionare sugli argomenti?
$\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)=lim_{n \to \infty}(n+1)/(n-1)=1$


Io ho proceduto in modo più lungo:
$ln(n+1)/ln(n-1)=(-ln(1/(n+1)))/-ln(1/(n-1))*(n+1)/(n+1)*(n-1)/(n-1)=(ln(1/(n+1))(n+1))/(ln(1/(n-1))(n-1))*(n+1)/(n-1)$

il cui limite è $1$
[/*:2q35tuw2]

[*:2q35tuw2]Infine l'ultimissima... In casi come quello che segue (un valore al numeratore e una somma al denominatore) ho sempre la tentazione di calcolare il reciproco...
$\lim_{n \to \infty}n/(ln(n)-2n)=\lim_{n \to \infty}((ln(n)-2n)/n)^-1=lim_{n \to \infty}(ln(n)/n-(2n)/n)^-1=lim_{n \to \infty}(0-2)^-1=-1/2$

Il risultato torna, però non so se è corretto il procedimento e, se esso è corretto, se ci sono eccezioni o casi specifici cui è opportuno stare attenti...[/*:2q35tuw2][/list:u:2q35tuw2]

Sempre grazie per la pazienza e la disponibilità

[gugo82]

"Calabi":

[*:1pwt8wxp]La prima è: quando in una somma di limiti uno di essi è inesistente come si procede? Lo si può scartare?
Ad esempio nella successione che segue posso dire:
$\lim_{n \to \infty}(n^3 - sen(n))/(2n^3+(-1)^n-1)=lim_{n \to \infty}n^3/(2n^3-1)=1/2$ ?[/*:1pwt8wxp][/list:u:1pwt8wxp]

In generale no... Ad esempio, se scartassimo il seno nel limite:
\[
\lim_n \frac{\frac{1}{n} + \sin n}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}}
\]
(che non esiste) otterremo un risultato falso.

Tuttavia, c'è qualche proposizione che può venirti in aiuto: ad esempio quelle che ti assicurano che moltiplicare un infinitesimo per una quantità limitata e sommare ad un infinito una quantità limitata non fa danno.

"Calabi":

[*:1pwt8wxp]La seconda domanda.
Nei casi di questo tipo (frazioni con un logaritmo con la stessa base a numeratore e uno a denominatore):
$\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)$
Basta ragionare sugli argomenti?
$\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)=lim_{n \to \infty}(n+1)/(n-1)=1$


Io ho proceduto in modo più lungo:
$ln(n+1)/ln(n-1)=(-ln(1/(n+1)))/-ln(1/(n-1))*(n+1)/(n+1)*(n-1)/(n-1)=(ln(1/(n+1))(n+1))/(ln(1/(n-1))(n-1))*(n+1)/(n-1)$

il cui limite è $1$
[/*:m:1pwt8wxp][/list:u:1pwt8wxp]

In generale no... Ad esempio:
\[
\lim_n \frac{\ln \left( e^{2n} +1\right)}{\ln \left( e^n + 2\right)} = 2
\]
mentre:
\[
\lim_n \frac{e^{2n} +1}{e^n + 2} = +\infty\; .
\]

Ad ogni modo, il metodo più veloce per risolvere il tuo limite è applicare le proprietà del logaritmo: infatti:
\[
\lim_n \frac{\ln (n+1)}{\ln (n-1)} = \lim_n \frac{\ln n + \ln \left( 1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n + \ln \left( 1 - \frac{1}{n}\right)} = \lim_n \frac{1 + \frac{1}{\ln n} \ln \left( 1+\frac{1}{n}\right)}{1 + \frac{1}{\ln n}\ \ln \left( 1 - \frac{1}{n}\right)} = \frac{1+0}{1+0} = 1\; .
\]

"Calabi":

[*:1pwt8wxp]Infine l'ultimissima... In casi come quello che segue (un valore al numeratore e una somma al denominatore) ho sempre la tentazione di calcolare il reciproco...
$\lim_{n \to \infty}n/(ln(n)-2n)=\lim_{n \to \infty}((ln(n)-2n)/n)^-1=lim_{n \to \infty}(ln(n)/n-(2n)/n)^-1=lim_{n \to \infty}(0-2)^-1=-1/2$

Il risultato torna, però non so se è corretto il procedimento e, se esso è corretto, se ci sono eccezioni o casi specifici cui è opportuno stare attenti...[/*:1pwt8wxp][/list:u:1pwt8wxp]

Se tutti i passaggi rientrano nelle regole dell'algebra dei limiti (cioé, se eviti di incorrere in forme indeterminate), essi ti portano al risultato corretto; altrimenti, in generale, non lo fanno.