Piccola domanda "teorica" sulle forme differenziali.
Salve a tutti ragazzi, ecco il mio dubbio:
Se abbiamo una forma differenziale tipo
$ w(x,y,z)= (2xz)/(x^2+y^2) - y/(x^2+y^2)dx + (2yz)/(x^2+y^2) + z/(x^2+y^2) dy + log(x^2+y^2)dz $
ha senso spezzare la forma differenzale in somma di due forme differenziali $w=w1+w2 $ e studiare le due forme differenzali $w1$ e $w2$ separatamente? e se entrambe sono chiuse e definite in un semplicemente connesso dire che anche la forma differenziale originaria è esatta?
Ed inoltre, possiamo trovare due primitive, la prima per $w1$ e la seconda per $w2$ e dire che la somma delle primitive è la primitiva delle forme differenziali originarie?
Ovviamente con $w1= (2xz)/(x^2+y^2)dx + (2yz)/(x^2+y^2)dy + log(x^2+y^2)dy$
e $w2= - y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2) dy $
Se abbiamo una forma differenziale tipo
$ w(x,y,z)= (2xz)/(x^2+y^2) - y/(x^2+y^2)dx + (2yz)/(x^2+y^2) + z/(x^2+y^2) dy + log(x^2+y^2)dz $
ha senso spezzare la forma differenzale in somma di due forme differenziali $w=w1+w2 $ e studiare le due forme differenzali $w1$ e $w2$ separatamente? e se entrambe sono chiuse e definite in un semplicemente connesso dire che anche la forma differenziale originaria è esatta?
Ed inoltre, possiamo trovare due primitive, la prima per $w1$ e la seconda per $w2$ e dire che la somma delle primitive è la primitiva delle forme differenziali originarie?
Ovviamente con $w1= (2xz)/(x^2+y^2)dx + (2yz)/(x^2+y^2)dy + log(x^2+y^2)dy$
e $w2= - y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2) dy $
Risposte
Ovvio.
Griazie ciampax,
però c'è pure un'altra cosa che non mi è chiara: noi qui abbiamo che la f.differenzale originaria è a tre variabili, mentre $w1$ e $w2$ sono rispettivamente a tre e 2 variabili. Quella a due variabili deve essere considerata così ai fini dello studio? Io ho, stranamente, una f.differenziale qui dinanzi a me, che presa nel suo totale sarebbe esatta, ma se vado a spezzarla mi ritrovo una delle due "sotto" f.differenziali che non é esatta (nello specifico quella in due variabili, infatti non è definita in $ (x,y)=(0,0)$ e l'integrale lungo la circonferenza che circonda l'origine non è $0$. Perchè mi succede questo?
Edit: la forma differenziale che stavo provando a svolgere è proprio quella che ho messo in questo messaggio
.
però c'è pure un'altra cosa che non mi è chiara: noi qui abbiamo che la f.differenzale originaria è a tre variabili, mentre $w1$ e $w2$ sono rispettivamente a tre e 2 variabili. Quella a due variabili deve essere considerata così ai fini dello studio? Io ho, stranamente, una f.differenziale qui dinanzi a me, che presa nel suo totale sarebbe esatta, ma se vado a spezzarla mi ritrovo una delle due "sotto" f.differenziali che non é esatta (nello specifico quella in due variabili, infatti non è definita in $ (x,y)=(0,0)$ e l'integrale lungo la circonferenza che circonda l'origine non è $0$. Perchè mi succede questo?
Edit: la forma differenziale che stavo provando a svolgere è proprio quella che ho messo in questo messaggio
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No, sono entrambe a tre variabili. Infatti devi pensare
$$w_2=-\frac{y}{x^2+y^2}\ dx+\frac{z}{x^2+y^2}\ dy+0\cdot \dz$$
e verificarne l'esattezza.
$$w_2=-\frac{y}{x^2+y^2}\ dx+\frac{z}{x^2+y^2}\ dy+0\cdot \dz$$
e verificarne l'esattezza.
Grazie Ciampax,
e come comportarmi, quindi, per verificarne la chiusura? Io qui avrò sempre le derivate di $dz$ nulle. Procedo sempre normalmente?
e come comportarmi, quindi, per verificarne la chiusura? Io qui avrò sempre le derivate di $dz$ nulle. Procedo sempre normalmente?
Certo. Qui $X=-{y}/{x^2+y^2},\ Y={z}/{x^2+y^2},\ Z=0$. Pertanto devi verificare che
$$X_y=Y_x,\qquad X_z=Z_x,\qquad Y_z=Z_y$$
per cui mi sembra che la tua forma non sia esatta. Sei sicuro che ci sia la $z$ nel termine $Y$?
$$X_y=Y_x,\qquad X_z=Z_x,\qquad Y_z=Z_y$$
per cui mi sembra che la tua forma non sia esatta. Sei sicuro che ci sia la $z$ nel termine $Y$?
Ho modificato prima il messaggio 
Nel termine $Y$ abbiamo una $x$.
Ed ho provato a fare le derivate a croce della f.differenziale originaria e mi vengono uguali. Adesso spezzando ho il terzo membro della seconda f.differenziale $Z$ che mi scombussola un pò i piani essendo nullo.
Nel termine $Y$ abbiamo una $x$. Ed ho provato a fare le derivate a croce della f.differenziale originaria e mi vengono uguali. Adesso spezzando ho il terzo membro della seconda f.differenziale $Z$ che mi scombussola un pò i piani essendo nullo.
Invece no, non mi scombussola proprio niente. Le derivate sono sempre uguali. MA dove mi avvio la settimana prossima?
Non so perché ma volevo fare $X_y = Z_x$. Dovrei cambiare mestiere ed andare a zappare la terra!
MA dove mi avvio la settimana prossima? Non so perché ma volevo fare $X_y = Z_x$. Dovrei cambiare mestiere ed andare a zappare la terra!
Ma no, guarda, già il fatto che uno se ne accorga da solo è un bene. Pensa a gente che anche quando dimostri che hanno scritto cazzate, continua a perseverare nel torto...
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