Piano tangente superficie
"Si consideri la superficie S ottenuta dalla rotazione di $2pi$ attorno all'asse x della curva:
$ varphi (x) =(x,0,cosx) $ con x che varia tra $0$ e $pi/2$.
a) Si scrivano le sue equazioni parametrica e cartesiana.
b) Si trovi il piano tangente ad S nel punto $(pi/4,1/2,1/2)$. "
È il primo esercizio di questo tipo che svolgo.
Dalla teoria mi è parso di capire (correggetemi se sbaglio) che l'equazione parametrica di S sia:
$ S:{ ( x=tcostheta ),( y=tsintheta ),( z=cost ):} $
con $ (t,theta)in [0,pi/2] xx [0,2pi] $
Però non ho trovato il modo di ricavare l'equazione cartesiana (che mi serve anche per calcolare il piano tangente).
$ varphi (x) =(x,0,cosx) $ con x che varia tra $0$ e $pi/2$.
a) Si scrivano le sue equazioni parametrica e cartesiana.
b) Si trovi il piano tangente ad S nel punto $(pi/4,1/2,1/2)$. "
È il primo esercizio di questo tipo che svolgo.
Dalla teoria mi è parso di capire (correggetemi se sbaglio) che l'equazione parametrica di S sia:
$ S:{ ( x=tcostheta ),( y=tsintheta ),( z=cost ):} $
con $ (t,theta)in [0,pi/2] xx [0,2pi] $
Però non ho trovato il modo di ricavare l'equazione cartesiana (che mi serve anche per calcolare il piano tangente).
Risposte
"maxira":
È il primo esercizio di questo tipo che svolgo.
Anch'io!
Per deduzione ho ottenuto:
$ S:{ ( x=arccos(t) ),( y=tcos(theta) ),( z=tsin(theta) ):} $
$f(y,z)=x=arccos(sqrt(y^2+z^2))$
$(deltaf)/(deltay)=(-y)/sqrt((1-y^2-z^2)(y^2+z^2))$
$(deltaf)/(deltaz)=(-z)/sqrt((1-y^2-z^2)(y^2+z^2))$
$f_y(1/2,1/2)=f_z(1/2,1/2)=-1$
E applicando la formuletta $x-f(x_0,y_0)=f_y(1/2,1/2)(y-y_0)+f_z(1/2,1/2)(z-z_0)$ ho ottenuto il piano $x+y+z=1+pi/4$
Sarei curioso di avere conferma.
Up
"maxira":
Up
Ma cosa up? Ti ha risposto Bokonon. Lo hai ignorato completamente, non ti piace la sua risposta?
No, ho letto la sua risposta. È che lui stesso ha detto di volere conferma da qualcuno.
"maxira":
No, ho letto la sua risposta. È che lui stesso ha detto di volere conferma da qualcuno.
Beh, intendevo te. Non hai la soluzione?
Ah, allora no. È un esercizio d'esame.
Ok, ma prima permettimi di dirti che concordo in toto con ciò che ha scritto dissonance in un altro thread.
Io credo che quasi nessuno qua dentro sia esente dall'aver dato almeno un esame universitario preparandolo come se fosse al liceo, ovvero cercando metodi meccanici per la soluzione dei problemi e frasi fatte per l'orale. Ma poi è arrivato il salto di qualità e si sono resi conto della differenza e da allora hanno costruito un metodo di studio più attivo: il tempo speso nel cercare di comprendere a fondo un problema e di risolverlo in più modi ed eventualmente espanderlo per comprenderlo meglio, ha pagato. Perchè dopo le cose diventano incredibilmente più semplici e veloci e l'apprendimento di nuovi concetti diventa quasi una passeggiata.
E' questo che cercano di dirti.
Prendiamo questo problema, non mi hai nemmeno chiesto come sono arrivato alla soluzione (che è corretta).
Ti hanno dato una curva, l'hai visualizzata? Cos'è?
Io credo che quasi nessuno qua dentro sia esente dall'aver dato almeno un esame universitario preparandolo come se fosse al liceo, ovvero cercando metodi meccanici per la soluzione dei problemi e frasi fatte per l'orale. Ma poi è arrivato il salto di qualità e si sono resi conto della differenza e da allora hanno costruito un metodo di studio più attivo: il tempo speso nel cercare di comprendere a fondo un problema e di risolverlo in più modi ed eventualmente espanderlo per comprenderlo meglio, ha pagato. Perchè dopo le cose diventano incredibilmente più semplici e veloci e l'apprendimento di nuovi concetti diventa quasi una passeggiata.
E' questo che cercano di dirti.
Prendiamo questo problema, non mi hai nemmeno chiesto come sono arrivato alla soluzione (che è corretta).
Ti hanno dato una curva, l'hai visualizzata? Cos'è?
"Bokonon":
Prendiamo questo problema, non mi hai nemmeno chiesto come sono arrivato alla soluzione (che è corretta).
Aspettavo semplicemente di sapere se fosse corretto.
Ti hanno dato una curva, l'hai visualizzata? Cos'è?
Una parabola con concavità verso il basso, con x tra 0 e pi/2.
È così che ricavo $ x=arccos t $?
$ phi(t)=(t,0,cost)$
$z=cost rArr t=arccosz $
$ x=t rArr x=arccosz $.
Quindi:
$ S: { ( x=arccost ),( y=tcostheta ),( z=tsintheta ):} $
con t che varia in [0,1] e $ theta $ in $ [0, 2pi] $.
"maxira":
Una parabola con concavità verso il basso, con x tra 0 e pi/2.
Non è una parabola!
Il vettore ti dice che $y=0$ quindi ci troviamo sul piano XZ.
Ti dice anche che z dipende da x, quindi è la funzione $z=f(x)=cos(x)$ con $0
E ti chiede ruotare solo la curva attorno all'asse X, quindi avremo tante circonferenze.
Per esempio per x=k, avremo una circonferenza la cui proiezione sul piano YZ del tipo $y^2+z^2=r^2$
Riesci a vedere la "cupola" che parte dal piano YZ e spunta lungo l'asse X?
E chi è il raggio? $r=cos(x)$
Quindi la superficie è $y^2+z^2=cos^2(x)$ e se la tagli per i diversi valori di $0
Ora x è positivo quindi possiamo ricavare la nostra curva $x=f(y,z)=arccos(sqrt(y^2+z^2))$
Parametrizzando e passando in coordinate polari mettiamo $x=arccos(t)$ e $y=tcos(theta)$ e $z=tsin(theta)$ (o viceversa, non cambia nulla per le ultime due).
Puoi facilmente verificare che $sqrt(y^2+z^2)=sqrt[t^2(sin^2(theta)+cos^2(theta))]=t$ quindi risostituendo si ottiene nuovamente la nostra funzione.
Il resto dell'esercizio l'ho scritto per esteso.
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