Piano tangente e vettore normale ad una superficie vettoriale?
Salve sono nuovo nel forum, ho cercato in lungo e in largo ma a quanto pare il mio caso non è stato trattato o almeno lo spero. Ho l'esame di analisi 2 e non ho capito una cosa: se ho una superficie espressa VETTORIALMENTE in R2 oppure in R3 come si trova il piano tangente ad essa? E il vettore normale ad essa? (quest'ultimo sopratutto in R3, perchè in R2 so che è il prodotto vettoriale dei vettori derivate parziali). Cioè mi interesserebbe sapere la procedura ma ancora meglio le formule per trovare ciò che cerco... sui libri non sono specificati tutti i casi!
Risposte
Le uniche superfici in \(\mathbb{R}^2\) sono i sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\) e non è possibile definire i vettori ad essi normali... Quindi non si capisce di che parli.
Forse intendi una superficie di \(\mathbb{R}^3\) fornita mediante un'equazione cartesiana del tipo \(z=f(x,y)\), i.e. le superfici-grafico?
Per quanto riguarda le superfici parametrizzate regolari, i.e. \((x,y,z)=\phi (u,v)\) con \(\phi: U\to \mathbb{R}^3\) di classe \(C^1\) ed \(U\subseteq \mathbb{R}^2\) aperto, il vettore normale alla superficie nel punto \((x_0,y_0,z_0)=\phi (u_0,v_0)\) è dato da:
\[
\phi_u(u_0,v_0)\times \phi_v(u_0,v_0)\; ,
\]
in cui i vettori \(\phi_u, \phi_v\) contengono le derivate parziali delle componenti di \(\phi\) e \(\times\) è il prodotto vettoriale in \(\mathbb{R}^3\).
Forse intendi una superficie di \(\mathbb{R}^3\) fornita mediante un'equazione cartesiana del tipo \(z=f(x,y)\), i.e. le superfici-grafico?
Per quanto riguarda le superfici parametrizzate regolari, i.e. \((x,y,z)=\phi (u,v)\) con \(\phi: U\to \mathbb{R}^3\) di classe \(C^1\) ed \(U\subseteq \mathbb{R}^2\) aperto, il vettore normale alla superficie nel punto \((x_0,y_0,z_0)=\phi (u_0,v_0)\) è dato da:
\[
\phi_u(u_0,v_0)\times \phi_v(u_0,v_0)\; ,
\]
in cui i vettori \(\phi_u, \phi_v\) contengono le derivate parziali delle componenti di \(\phi\) e \(\times\) è il prodotto vettoriale in \(\mathbb{R}^3\).
Forse mi sono espresso male. Provo a postare un esempio: s=e^(u)*sin(v), u^(3+v), e^(u)*cos(v) come trovo il piano tangente? Saprei trovarlo solo quando la superficie è in forma scalare, ma quì è vettoriale. Per il vettore normale invece la tua spiegazione mi è stata chiara grazie.
Il piano tangente in quale punto?
Ma, ad ogni modo, basta conoscere la definizione di piano tangente per ricavare l'equazione cartesiana dal vettore normale.
Inoltre, queste sono formule che trovi su un qualsiasi testo di analisi.
Ma, ad ogni modo, basta conoscere la definizione di piano tangente per ricavare l'equazione cartesiana dal vettore normale.
Inoltre, queste sono formule che trovi su un qualsiasi testo di analisi.
Nel punto P=(0, pi greco, 1). So che si troverebbero in qualsiasi testo ma purtroppo il mio libro consigliato dal docente salta proprio questa parte
Innanzitutto, che cos'è il piano tangente per definizione?
E' un sottospazio vettoriale che contiene tutte le tangenti a una superficie in un punto specifico.
Beh, sì e no... Dipende dal punto di vista.
Una definizione del genere è come dire che la retta tangente alla parabola di equazione \(y=1+x^2\) nel punto \((0,1)\) è la retta di equazione \(y=0\). E puoi vedere da te che la retta tangente in realtà non "tange" la parabola in alcun punto...
Quindi, se ciò non ti crea problemi, andiamo avanti; ma se hai delle perplessità è meglio che ripensi un po' alla definizione data.
P.S.: Che libro usi?
Una definizione del genere è come dire che la retta tangente alla parabola di equazione \(y=1+x^2\) nel punto \((0,1)\) è la retta di equazione \(y=0\). E puoi vedere da te che la retta tangente in realtà non "tange" la parabola in alcun punto...
Quindi, se ciò non ti crea problemi, andiamo avanti; ma se hai delle perplessità è meglio che ripensi un po' alla definizione data.
P.S.: Che libro usi?
Uso il Crasta Malusa "Matematica 2. Teoria ed esercizi" che purtroppo sorvola su molti argomenti ma è molto semplice come testo. Ho capito che la mia definizione è un po troppo approssimativa ma quindi come posso impostare il problema in quel caso? E' corretto procedere trovandomi prima il vettore normale, lo calcolo nel punto dato e poi mi trovo il piano perpendicolare al vettore normale (che se non sbaglio sarebbe anche tangente alla superficie?).
Sì.
Però di piani perpendicolari al vettore normale ce ne sono infiniti, ovviamente... Quindi qui si pone il problema (anche rispetto alla definizione che hai).
Se consideri il piano tangente come piano vettoriale, esso deve necessariamente passare per l'origine: quindi la sua equazione è:
\[
\nu_1\ x+\nu_2\ y+\nu_3\ z=0
\]
in cui \(\nu_1, \nu_2,\nu_3\) sono le componenti del vettore normale. In questo caso, il piano tangente non sempre "tange" la superficie (proprio come nel caso precedente la retta tangente non "tangeva" la parabola): questo cozza contro l'intuizione.
D'altra parte, se invece consideri il piano tangente come piano affine, esso deve passare per il punto \((x_0,y_0,z_0)\) che sta sulla superficie, quindi la sua equazione è:
\[
\nu_1\ (x-x_0)+\nu_2\ (y-y_0)+\nu_3\ (z-z_0)=0\; .
\]
Questo piano "tange" la superficie assegnata in \((x_0,y_0,z_0)\) (ed eventualmente la interseca anche in altri punti), ma, in generale, non è un piano vettoriale: ciò cozza contro la tua definizione.
Quindi dovresti chiedere al docente cosa vuole che tu scriva in un compito.
Però di piani perpendicolari al vettore normale ce ne sono infiniti, ovviamente... Quindi qui si pone il problema (anche rispetto alla definizione che hai).
Se consideri il piano tangente come piano vettoriale, esso deve necessariamente passare per l'origine: quindi la sua equazione è:
\[
\nu_1\ x+\nu_2\ y+\nu_3\ z=0
\]
in cui \(\nu_1, \nu_2,\nu_3\) sono le componenti del vettore normale. In questo caso, il piano tangente non sempre "tange" la superficie (proprio come nel caso precedente la retta tangente non "tangeva" la parabola): questo cozza contro l'intuizione.
D'altra parte, se invece consideri il piano tangente come piano affine, esso deve passare per il punto \((x_0,y_0,z_0)\) che sta sulla superficie, quindi la sua equazione è:
\[
\nu_1\ (x-x_0)+\nu_2\ (y-y_0)+\nu_3\ (z-z_0)=0\; .
\]
Questo piano "tange" la superficie assegnata in \((x_0,y_0,z_0)\) (ed eventualmente la interseca anche in altri punti), ma, in generale, non è un piano vettoriale: ciò cozza contro la tua definizione.
Quindi dovresti chiedere al docente cosa vuole che tu scriva in un compito.
ok grazie mille della spiegazione! Evidentemente il docente intende il piano "affine", quindi chiederò delucidazioni appena è disponibile. Grazie mille ancora e complimenti per il forum. 
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