Piano tangente e retta normale
Cosa si intende per retta normale al piano tangente ad una superficie? il piano tangente è scritto con le derivate parziali rispetto a x e y, come si trova la retta normale?
Risposte
Ovviamente è la retta ortogonale al piano tangente condotta per il punto di tangenza.
Insomma, detto $(x_0,y_0,z_0)$ un punto della superficie e $nu(x_0,y_0,z_0)$ il versore normale alla superficie in tale punto, la retta normale alla superficie in $(x_0,y_0,z_0)$ è quella condotta per tale punto con direzione $nu(x_0,y_0,z_0)$
Insomma, detto $(x_0,y_0,z_0)$ un punto della superficie e $nu(x_0,y_0,z_0)$ il versore normale alla superficie in tale punto, la retta normale alla superficie in $(x_0,y_0,z_0)$ è quella condotta per tale punto con direzione $nu(x_0,y_0,z_0)$
Si lo so questo ma come si ricava $v$ dall'eq del piano tangente scritta con il gradiente?
ovvero:
$z=f(x_0,y_0)+df/dx|(x_0,y_0)*(x-x_0)+df/dy|(x_0,y_0)*(y-y_0)$
non è la forma cartesiana del piano con vettore perpendicolare, scritta così con le derivate parziali, non capisco come si ricava la retta normale al piano tangente....
ovvero:
$z=f(x_0,y_0)+df/dx|(x_0,y_0)*(x-x_0)+df/dy|(x_0,y_0)*(y-y_0)$
non è la forma cartesiana del piano con vettore perpendicolare, scritta così con le derivate parziali, non capisco come si ricava la retta normale al piano tangente....
Sei sicura che quella che hai scritto sia l'equazione del piano che ti interessa?
Ad occhio direi che manca qualcosa...
Ad occhio direi che manca qualcosa...
si ecco ho modificato, ma la retta normale cos'è?
Fin da Geometria I dovresti sapere che scrivendo un piano in equazione cartesiana, ossia $ax+by+cz=d$, la direzione normale a tale piano è individuata dal vettore $(a,b,c)$.
Visto che il versore normale alla superficie in $(x_0,y_0,z_0)$ è normale al piano tangente $(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)*(x-x_0)+(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)*(y-y_0)-z=f(x_0,y_0)$ deve risultare:
$nu(x_0,y_0,z_0)\quad || \quad ((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1) \quad \Leftrightarrow \quad nu(x_0,y_0,z_0)=k*((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$
con $k\in RR$.
Ora sono possibili due strade: o ricavi $nu(x_0,y_0,z_0)$ normalizzando $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ (se ti interessa proprio conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$); oppure, visto che $nu(x_0,y_0,z_0)$ è parallelo a $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$, tieni presente che puoi descrivere la retta normale usando anche $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ (questo può essere utile se non ti interessa effettivamente conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$).
Scegli tu.
Visto che il versore normale alla superficie in $(x_0,y_0,z_0)$ è normale al piano tangente $(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)*(x-x_0)+(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)*(y-y_0)-z=f(x_0,y_0)$ deve risultare:
$nu(x_0,y_0,z_0)\quad || \quad ((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1) \quad \Leftrightarrow \quad nu(x_0,y_0,z_0)=k*((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$
con $k\in RR$.
Ora sono possibili due strade: o ricavi $nu(x_0,y_0,z_0)$ normalizzando $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ (se ti interessa proprio conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$); oppure, visto che $nu(x_0,y_0,z_0)$ è parallelo a $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$, tieni presente che puoi descrivere la retta normale usando anche $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ (questo può essere utile se non ti interessa effettivamente conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$).
Scegli tu.
si che lo sapevo che i coefficienti dell'eq caresiana del piano sono le coordinate del vettore normale, pero' mi chiedevo se potevo usare le derivate parziali come si usano a, b, c, quindi era coempensavo...ma perchè scusa un utima ddomanda, moltiplichi per k?
"lalla23":
ma perchè scusa un utima domanda, moltiplichi per $k$?
Ricordi com'è definita la relazione di parallelismo tra vettori?
Il motivo è tutto lì...
grazie Gugo82! 
"Gugo82":
Fin da Geometria I dovresti sapere che scrivendo un piano in equazione cartesiana, ossia $ax+by+cz=d$, la direzione normale a tale piano è individuata dal vettore $(a,b,c)$.
Visto che il versore normale alla superficie in $(x_0,y_0,z_0)$ è normale al piano tangente $(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)*(x-x_0)+(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)*(y-y_0)-z=f(x_0,y_0)$ deve risultare:
$nu(x_0,y_0,z_0)\quad || \quad ((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1) \quad \Leftrightarrow \quad nu(x_0,y_0,z_0)=k*((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$
con $k\in RR$.
Ora sono possibili due strade: o ricavi $nu(x_0,y_0,z_0)$ normalizzando $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$ (se ti interessa proprio conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$); oppure, visto che $nu(x_0,y_0,z_0)$ è parallelo a $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$, tieni presente che puoi descrivere la retta normale usando anche $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$ (questo può essere utile se non ti interessa effettivamente conoscere $nu(x_0,y_0,z_0)$).
Scegli tu.
stavo rileggendo e volevo chiederti come si fa a normalizzare le derivate parziali? poi c'è un piccolo errore di scrittura ripeti due volte la derivata rispetto a x nelle parentesi invece è una volta x una volta y....ciao e grazie
Ovviamente è un errore di battitura che si è riprodotto usando il copia-incolla; me ne scuso e vado a correggere.
Normalizzare il vettore $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ si fa come al solito: si calcola il modulo e si divide ogni componente per tale quantità (che è positiva, in virtù di quel $-1$); in formule, il vettore normalizzato è:
$1/sqrt([(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)]^2+[(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)]^2+1)*((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$.
Normalizzare il vettore $((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0),-1)$ si fa come al solito: si calcola il modulo e si divide ogni componente per tale quantità (che è positiva, in virtù di quel $-1$); in formule, il vettore normalizzato è:
$1/sqrt([(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)]^2+[(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0)]^2+1)*((\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0),-1)$.
grazie!!!
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