Piano tangente e insieme chiuso e limitato

[liam-lover]

Potete dirmi se questo esercizio è svolto correttamente?

"Sia $ W = {(x; y; z): F(x; y; z) = xy + yz + zx - 3 = 0} $.

1) Provare che W è un insieme chiuso ma non limitato.
2) Scrivere l'equazione del piano tangente a W nel punto (1; 1; 1)."

1) W è sicuramente chiuso perché definito come luogo di zeri.
Non è limitato perché, scelto ad esempio l'insieme di punti (x, y, 0) di W, $ y=3/x $ è un'iperbole definita $ AA x in R-{0} $.

2) Affinché il piano tangente esista, P deve appartenere a W ed $ F_z(x, y, z) $ deve essere diversa da zero.
Entrambe le condizioni sono verificate, dato che
$ F(x; y; z) =1+1+1-3 = 0 $
$ F_z=x+y=2 $.

Esiste dunque una funzione $ z=g(x,y) $ con derivate parziali $ g_x=-F_x/F_z = -(y+z)/(x+y) = -1 $ e $ g_y=-F_y/F_z = - (x+z)/(x+y) = -1 $.

L'equazione del piano tangente risulta quindi:

$ z - 1 = -1(x-1) -1 (y-1) $
$ z+x+y=3 $

[liam-lover]

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[feddy]

Lo svolgilemto è corretto. Magari puoi verificare visivamente quanto hai trovato con Geogebra