Piano tangente, Area, Rotore
ciao a tutti, ho qualche domanda da esporvi visto che sto brancolando assolutamente nel buio.
Si parte con la superficie: $\sum = {(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + z^2 - 2x <=0, y>=0$, insomma la cosiddetta finestra di Viviani.
Devo:
1) scriverne l' equazione del piano tangente a $\sum$ in (1, $\sqrt(2)$, 1).
2) calcolare l' area di $\sum$
3) Posto $F(x,y,z) = (x - z, z, y)$ calcolare: $\int_{\partial\sum}F*T ds$
Sol:
1) La formula da usare è il prodotto scalare $-<\nabla(x_0, y_0, z_0), i(x - x_0) + j(y - y_0) + k(z - z_0) >-$ dove $x_0...$ indica il punto (1, $\sqrt(2)$, 1).
Ora, quel gradiente se non sbaglio è da interpretare come il versore normale alla superficie ottenuto tramite il prodotto vettoriale fra le derivate parziali della funzione: $f(x,y) = (x, y, g(x,y)) = (x, y, \sqrt(4 - x^2 - y^2))$.
Da cui ottengo: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + jy/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + k$, e sostituiendoci il punto d' interesse ottengo: $n_e = i + j\sqrt(2) + k$
ed il piano tangente: $(x - 1) + \sqrt(2)(y - \sqrt(2)) + (z - 1)$
2) Qui si comincia già con i forti dubbi. Devo svolgere l' integrale $\int\int_B ||n_e|| dxdz$
Ho considerato la derivata rispetto ad $x$ e $z$ perchè la superficie richiesta si svoluppa lungo l' asse $y$. In questo caso il versione $n_e$ diventa semplicemente: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + j + kz/(\sqrt(4 - x^2 - y^2))$. Mentre $B$ è il cerchio nel piano $xz$ di centro (1,0) e raggio 1.
Allora, facendo la norma ottengo: $||n_e|| = 2/(\sqrt(4 - x^2 - z^2))$ ed applicandoci le coordinati polari $x = \rho cos\theta, y = \rho sen\theta$
L' integrale diventa: $\int\int_B \rho2/(\sqrt(4 - \rho^2)) d\rhod\theta$
Restano da decidere gli estremi di integrazione. Sostituendo le polari nell' equazione del cerchio nel piano $xz$ si ottiene senza problemi $0 < \rho < 2cos\theta$, mentre per $\theta$ non saprei, opterei semplicemente per $0 < \theta < 2\pi$. A questo punto si fanno i conti ecc..
3) Ecco, siamo al punto cruciale: si può passare la teorema del rotore ponendo :$\int\int \nablaxF*n_e dxdz$; dal calcolo del rotore risulta $nablaxF = (0, -1, 0)$, quindi si arriva all' integrale: $-\int\int_B z/\sqrt(4 - x^2 - z^2)dzdx$, che conviene calcolare come dominio semplice rispetto a $z$. Si imporrà: $-sqrt(1 - (x - 1)^2) < z < +sqrt(1 - (x - 1)^2)$ e $0 < x < 2$. A questo punto l' integrazione è immediata: $\int_{0}^{2}\sqrt(4 - x^2 - z^2)|_{-sqrt(1 - (x - 1)^2)}^{+sqrt(1 - (x - 1)^2)}$.
Sostituendo si ottiene direttamente zero, quindi non serve nemmeno fare l' integrazione in $dx$.
A questo punto mi chiedo: come si sarebbe potuto risolvere con il calcolo diretto. Cioè, come si sarebbe dovuto impostare il calcolo se non ci si fosse accorti che il rotore semplificava la vita ? Come si può trovare l' espressiome del contorno di $\sum$ e di conseguenza il suo vettore tangente $T$ ?
Grazie a tutti
Si parte con la superficie: $\sum = {(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + z^2 - 2x <=0, y>=0$, insomma la cosiddetta finestra di Viviani.
Devo:
1) scriverne l' equazione del piano tangente a $\sum$ in (1, $\sqrt(2)$, 1).
2) calcolare l' area di $\sum$
3) Posto $F(x,y,z) = (x - z, z, y)$ calcolare: $\int_{\partial\sum}F*T ds$
Sol:
1) La formula da usare è il prodotto scalare $-<\nabla(x_0, y_0, z_0), i(x - x_0) + j(y - y_0) + k(z - z_0) >-$ dove $x_0...$ indica il punto (1, $\sqrt(2)$, 1).
Ora, quel gradiente se non sbaglio è da interpretare come il versore normale alla superficie ottenuto tramite il prodotto vettoriale fra le derivate parziali della funzione: $f(x,y) = (x, y, g(x,y)) = (x, y, \sqrt(4 - x^2 - y^2))$.
Da cui ottengo: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + jy/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + k$, e sostituiendoci il punto d' interesse ottengo: $n_e = i + j\sqrt(2) + k$
ed il piano tangente: $(x - 1) + \sqrt(2)(y - \sqrt(2)) + (z - 1)$
2) Qui si comincia già con i forti dubbi. Devo svolgere l' integrale $\int\int_B ||n_e|| dxdz$
Ho considerato la derivata rispetto ad $x$ e $z$ perchè la superficie richiesta si svoluppa lungo l' asse $y$. In questo caso il versione $n_e$ diventa semplicemente: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + j + kz/(\sqrt(4 - x^2 - y^2))$. Mentre $B$ è il cerchio nel piano $xz$ di centro (1,0) e raggio 1.
Allora, facendo la norma ottengo: $||n_e|| = 2/(\sqrt(4 - x^2 - z^2))$ ed applicandoci le coordinati polari $x = \rho cos\theta, y = \rho sen\theta$
L' integrale diventa: $\int\int_B \rho2/(\sqrt(4 - \rho^2)) d\rhod\theta$
Restano da decidere gli estremi di integrazione. Sostituendo le polari nell' equazione del cerchio nel piano $xz$ si ottiene senza problemi $0 < \rho < 2cos\theta$, mentre per $\theta$ non saprei, opterei semplicemente per $0 < \theta < 2\pi$. A questo punto si fanno i conti ecc..
3) Ecco, siamo al punto cruciale: si può passare la teorema del rotore ponendo :$\int\int \nablaxF*n_e dxdz$; dal calcolo del rotore risulta $nablaxF = (0, -1, 0)$, quindi si arriva all' integrale: $-\int\int_B z/\sqrt(4 - x^2 - z^2)dzdx$, che conviene calcolare come dominio semplice rispetto a $z$. Si imporrà: $-sqrt(1 - (x - 1)^2) < z < +sqrt(1 - (x - 1)^2)$ e $0 < x < 2$. A questo punto l' integrazione è immediata: $\int_{0}^{2}\sqrt(4 - x^2 - z^2)|_{-sqrt(1 - (x - 1)^2)}^{+sqrt(1 - (x - 1)^2)}$.
Sostituendo si ottiene direttamente zero, quindi non serve nemmeno fare l' integrazione in $dx$.
A questo punto mi chiedo: come si sarebbe potuto risolvere con il calcolo diretto. Cioè, come si sarebbe dovuto impostare il calcolo se non ci si fosse accorti che il rotore semplificava la vita ? Come si può trovare l' espressiome del contorno di $\sum$ e di conseguenza il suo vettore tangente $T$ ?
Grazie a tutti
Risposte
sbaglio o è il tema 1 del compito di analisi 2 di dagnolo?
per gli estremi di integrazione, stai attento alla disuguaglianza $ 0 < rho < 2 cos theta $
mmm.. un attimo che ricontrollo i miei conti perchè io ho un 2 che tu non hai...
per gli estremi di integrazione, stai attento alla disuguaglianza $ 0 < rho < 2 cos theta $
mmm.. un attimo che ricontrollo i miei conti perchè io ho un 2 che tu non hai...
no non sbagli! tu che ne dici di questa soluzione ?
ah sisi, è stato un errore di trascrittura..
ps immagino che anche tu sia dello stesso corso
ah sisi, è stato un errore di trascrittura..
ps immagino che anche tu sia dello stesso corso
spetta un secondo.. pensa che mi sono impallato su questo esercizio e non sono più riuscito a fare altro. poi l'ho rifatto a casa (i primi due punti, l'ultimo devo ancora guardarlo).
ho ricontrollato e i tuoi estremi sono sbagliati, il 2 ci andava (ora modifico visto che hai corretto
). se mi lasci un po' di tempo di dico anche il resto. hai msn magari?
ho ricontrollato e i tuoi estremi sono sbagliati, il 2 ci andava (ora modifico visto che hai corretto
). se mi lasci un po' di tempo di dico anche il resto. hai msn magari?
no non ce l' ho.. comunque sò che ci andava, mi ero dimenticato di trascriverlo, ora ho corretto
ok.. come ti dicevo sopra, vale anche $ 2 cos (theta) > 0 $
"enr87":
ok.. come ti dicevo sopra, vale anche $ 2 cos (theta) > 0 $
scusa mi sfugge da dove l' hai tirato fuori..
hai posto 0 < rho < 2 cos(theta), la disuguaglianza tra il primo e il terzo membro non la devi dimenticare
ah in effetti, non ci avevo minimamente pensato..XD che sciocchezza..
per curiosità, per trovare gli estremi vincolati sullo studio di funzione hai usato i motltiplicatori o qualche altro metodo? e comunque era un esercizio parecchio bastardo mi pare
"enr87":
per curiosità, per trovare gli estremi vincolati sullo studio di funzione hai usato i motltiplicatori o qualche altro metodo? e comunque era un esercizio parecchio bastardo mi pare
siceramente non l' ho ancora provato a fare, mi ero concentrato sugli altri.. e non essendo riuscito a farli bene, non mi sono neanche messo a fare l ' ultimo, ma lo posterò certamente..
ok, se hai problemi io ho fatto pure il secondo (a casa).. lo studio di funzione è "in progress"! comunque nel terzo punto non aveva scritto come era orientata la curva, per cui uno a priori poteva prendere il versore normale a piacimento
Nel terzo punto non aveva scritto come era orientata la curva, per cui uno a priori poteva prendere il versore normale a piacimento
capisco, in qualunque caso il risultato sarebbe solo cambiato di segno.. rimane il problema che non saprei ancora determinare quel contorno e quel vettore tangente..
ah, scusa stavo facendo altro. se stai su un altro po' te lo faccio ora (se riesco), sennò domani.
edit: guarda, non vorrei essere pessimista o dire cavolate, ma se valesse veramente 0 allora la forma differenziale dovrebbe essere chiusa (e quindi esatta, essendo definita in tutto R^3). il problema è che non è chiusa
edit: guarda, non vorrei essere pessimista o dire cavolate, ma se valesse veramente 0 allora la forma differenziale dovrebbe essere chiusa (e quindi esatta, essendo definita in tutto R^3). il problema è che non è chiusa
ti ho risposto nel post precedente
mmh capisco il tuo ragionamento.. devo pensarci un pò su e vedere, in qualunque caso i calcoli mi sembrano piuttosto semplici, non mi pare di aver commesso errori..
sto provando a rifare i calcoli. però era troppo invitante da fare con stokes quell'integrale lì, quindi forse la mia considerazione ha qualcosa che non va, anche se non so cosa..
come non detto, trovato il mio errore: la condizione di "essere chiusa in un semplicemente connesso" è sufficiente, ma non necessaria, per l'esattezza della forma.
come non detto, trovato il mio errore: la condizione di "essere chiusa in un semplicemente connesso" è sufficiente, ma non necessaria, per l'esattezza della forma.
in effetti, è facile commettere qualche distrazione a queste ore
credo ci sia un errore di calcolo comunque: il prodotto scalare rotF*n dovrebbe darti -1, prova a darci un'occhiata
"enr87":
credo ci sia un errore di calcolo comunque: il prodotto scalare rotF*n dovrebbe darti -1, prova a darci un'occhiata
bè no è impossibile, c'è il $-1$ che viene dal rotore, moltiplicato epr la seconda componente di $n_e$ (ho usato il vettore normale in cui è la y as essere espressa tramite x e z)
scusa, ma la normale viene (x/sqrt(..), 1, z/sqrt(..)), mentre il rotF = (0,-1,0). il prodotto scalare dà -1 (altro errore dovuto all'ora?)
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