Piano tangente, Area, Rotore
ciao a tutti, ho qualche domanda da esporvi visto che sto brancolando assolutamente nel buio.
Si parte con la superficie: $\sum = {(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + z^2 - 2x <=0, y>=0$, insomma la cosiddetta finestra di Viviani.
Devo:
1) scriverne l' equazione del piano tangente a $\sum$ in (1, $\sqrt(2)$, 1).
2) calcolare l' area di $\sum$
3) Posto $F(x,y,z) = (x - z, z, y)$ calcolare: $\int_{\partial\sum}F*T ds$
Sol:
1) La formula da usare è il prodotto scalare $-<\nabla(x_0, y_0, z_0), i(x - x_0) + j(y - y_0) + k(z - z_0) >-$ dove $x_0...$ indica il punto (1, $\sqrt(2)$, 1).
Ora, quel gradiente se non sbaglio è da interpretare come il versore normale alla superficie ottenuto tramite il prodotto vettoriale fra le derivate parziali della funzione: $f(x,y) = (x, y, g(x,y)) = (x, y, \sqrt(4 - x^2 - y^2))$.
Da cui ottengo: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + jy/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + k$, e sostituiendoci il punto d' interesse ottengo: $n_e = i + j\sqrt(2) + k$
ed il piano tangente: $(x - 1) + \sqrt(2)(y - \sqrt(2)) + (z - 1)$
2) Qui si comincia già con i forti dubbi. Devo svolgere l' integrale $\int\int_B ||n_e|| dxdz$
Ho considerato la derivata rispetto ad $x$ e $z$ perchè la superficie richiesta si svoluppa lungo l' asse $y$. In questo caso il versione $n_e$ diventa semplicemente: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + j + kz/(\sqrt(4 - x^2 - y^2))$. Mentre $B$ è il cerchio nel piano $xz$ di centro (1,0) e raggio 1.
Allora, facendo la norma ottengo: $||n_e|| = 2/(\sqrt(4 - x^2 - z^2))$ ed applicandoci le coordinati polari $x = \rho cos\theta, y = \rho sen\theta$
L' integrale diventa: $\int\int_B \rho2/(\sqrt(4 - \rho^2)) d\rhod\theta$
Restano da decidere gli estremi di integrazione. Sostituendo le polari nell' equazione del cerchio nel piano $xz$ si ottiene senza problemi $0 < \rho < 2cos\theta$, mentre per $\theta$ non saprei, opterei semplicemente per $0 < \theta < 2\pi$. A questo punto si fanno i conti ecc..
3) Ecco, siamo al punto cruciale: si può passare la teorema del rotore ponendo :$\int\int \nablaxF*n_e dxdz$; dal calcolo del rotore risulta $nablaxF = (0, -1, 0)$, quindi si arriva all' integrale: $-\int\int_B z/\sqrt(4 - x^2 - z^2)dzdx$, che conviene calcolare come dominio semplice rispetto a $z$. Si imporrà: $-sqrt(1 - (x - 1)^2) < z < +sqrt(1 - (x - 1)^2)$ e $0 < x < 2$. A questo punto l' integrazione è immediata: $\int_{0}^{2}\sqrt(4 - x^2 - z^2)|_{-sqrt(1 - (x - 1)^2)}^{+sqrt(1 - (x - 1)^2)}$.
Sostituendo si ottiene direttamente zero, quindi non serve nemmeno fare l' integrazione in $dx$.
A questo punto mi chiedo: come si sarebbe potuto risolvere con il calcolo diretto. Cioè, come si sarebbe dovuto impostare il calcolo se non ci si fosse accorti che il rotore semplificava la vita ? Come si può trovare l' espressiome del contorno di $\sum$ e di conseguenza il suo vettore tangente $T$ ?
Grazie a tutti
Si parte con la superficie: $\sum = {(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 4, x^2 + z^2 - 2x <=0, y>=0$, insomma la cosiddetta finestra di Viviani.
Devo:
1) scriverne l' equazione del piano tangente a $\sum$ in (1, $\sqrt(2)$, 1).
2) calcolare l' area di $\sum$
3) Posto $F(x,y,z) = (x - z, z, y)$ calcolare: $\int_{\partial\sum}F*T ds$
Sol:
1) La formula da usare è il prodotto scalare $-<\nabla(x_0, y_0, z_0), i(x - x_0) + j(y - y_0) + k(z - z_0) >-$ dove $x_0...$ indica il punto (1, $\sqrt(2)$, 1).
Ora, quel gradiente se non sbaglio è da interpretare come il versore normale alla superficie ottenuto tramite il prodotto vettoriale fra le derivate parziali della funzione: $f(x,y) = (x, y, g(x,y)) = (x, y, \sqrt(4 - x^2 - y^2))$.
Da cui ottengo: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + jy/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + k$, e sostituiendoci il punto d' interesse ottengo: $n_e = i + j\sqrt(2) + k$
ed il piano tangente: $(x - 1) + \sqrt(2)(y - \sqrt(2)) + (z - 1)$
2) Qui si comincia già con i forti dubbi. Devo svolgere l' integrale $\int\int_B ||n_e|| dxdz$
Ho considerato la derivata rispetto ad $x$ e $z$ perchè la superficie richiesta si svoluppa lungo l' asse $y$. In questo caso il versione $n_e$ diventa semplicemente: $n_e = ix/(\sqrt(4 - x^2 - y^2)) + j + kz/(\sqrt(4 - x^2 - y^2))$. Mentre $B$ è il cerchio nel piano $xz$ di centro (1,0) e raggio 1.
Allora, facendo la norma ottengo: $||n_e|| = 2/(\sqrt(4 - x^2 - z^2))$ ed applicandoci le coordinati polari $x = \rho cos\theta, y = \rho sen\theta$
L' integrale diventa: $\int\int_B \rho2/(\sqrt(4 - \rho^2)) d\rhod\theta$
Restano da decidere gli estremi di integrazione. Sostituendo le polari nell' equazione del cerchio nel piano $xz$ si ottiene senza problemi $0 < \rho < 2cos\theta$, mentre per $\theta$ non saprei, opterei semplicemente per $0 < \theta < 2\pi$. A questo punto si fanno i conti ecc..
3) Ecco, siamo al punto cruciale: si può passare la teorema del rotore ponendo :$\int\int \nablaxF*n_e dxdz$; dal calcolo del rotore risulta $nablaxF = (0, -1, 0)$, quindi si arriva all' integrale: $-\int\int_B z/\sqrt(4 - x^2 - z^2)dzdx$, che conviene calcolare come dominio semplice rispetto a $z$. Si imporrà: $-sqrt(1 - (x - 1)^2) < z < +sqrt(1 - (x - 1)^2)$ e $0 < x < 2$. A questo punto l' integrazione è immediata: $\int_{0}^{2}\sqrt(4 - x^2 - z^2)|_{-sqrt(1 - (x - 1)^2)}^{+sqrt(1 - (x - 1)^2)}$.
Sostituendo si ottiene direttamente zero, quindi non serve nemmeno fare l' integrazione in $dx$.
A questo punto mi chiedo: come si sarebbe potuto risolvere con il calcolo diretto. Cioè, come si sarebbe dovuto impostare il calcolo se non ci si fosse accorti che il rotore semplificava la vita ? Come si può trovare l' espressiome del contorno di $\sum$ e di conseguenza il suo vettore tangente $T$ ?
Grazie a tutti
Risposte
"enr87":
scusa, ma la normale viene (x/sqrt(..), 1, z/sqrt(..)), mentre il rotF = (0,-1,0). il prodotto scalare dà -1 (altro errore dovuto all'ora?)
mmh effettivamente, non so proprio a cosa stessi pensando quando ho scritto quella cosa..XD
eh capita.. la vecchiaia fa brutti scherzi. se hai altri problemi io resto ancora un po', vedi tu
"enr87":
eh capita.. la vecchiaia fa brutti scherzi. se hai altri problemi io resto ancora un po', vedi tu
mmh per la prima parte (quella sul piano tangente), ti pare ok ?
per lo studio di funzione non mi sembra così malvagio, il vincolo mi pare semplicemente un cerchio di centro (0, -1/2) e raggio $sqrt(13)/2$, o sto ancora dando letteralmente i numeri ?
il piano veniva lo stesso anche a me (devi metterci solo = 0 alla fine), anche se ho sfruttato taylor ma va bene uguale.
il vincolo è quello, ma prova a trovarti gli estremi.. è un incubo
il vincolo è quello, ma prova a trovarti gli estremi.. è un incubo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo