Piano tangente a una superficie
Salve a tutti,
Ho un dubbio sul come il mio libro si ricavi l'equazione del piano tangente a una superficie regolare parametrizzata:
Il libro prende un vettore normale alla superficie di componenti $(a(u_o,v_o),b(u_o,v_o),c(u_o,v_o))$ ortogonale al piano tangente e lo moltiplica scalarmente per un vettore appartenente alla superficie di componenti $(x-x_o,y-y_o,z-z_o)$ e ottiene il piano tangente ossia:
$a(u_o,v_o)(x-x_o)+b(u_o,v_o)(y-y_o)+c(u_o,v_o)(z-z_o)=0$
Ora vorrei sapere perchè moltiplicando scalarmente due vettori ortogonali al piano tangente ottengo quest'ultimo ? Inoltre l'equazione del piano non dovrebbe essere del tipo $ax+by+cz+d=0$?
Ho un dubbio sul come il mio libro si ricavi l'equazione del piano tangente a una superficie regolare parametrizzata:
Il libro prende un vettore normale alla superficie di componenti $(a(u_o,v_o),b(u_o,v_o),c(u_o,v_o))$ ortogonale al piano tangente e lo moltiplica scalarmente per un vettore appartenente alla superficie di componenti $(x-x_o,y-y_o,z-z_o)$ e ottiene il piano tangente ossia:
$a(u_o,v_o)(x-x_o)+b(u_o,v_o)(y-y_o)+c(u_o,v_o)(z-z_o)=0$
Ora vorrei sapere perchè moltiplicando scalarmente due vettori ortogonali al piano tangente ottengo quest'ultimo ? Inoltre l'equazione del piano non dovrebbe essere del tipo $ax+by+cz+d=0$?
Risposte
Ti ringrazio per la risposta,però ho ancora dei dubbi:
1)Come mai l'equazione del piano tangente la otteniamo attraverso quel prodotto scalare ?
2)Supponendo che il vettore normale normale sia il vettore di componenti $(a,b,c)$ (come ho scritto sopra) moltiplicandolo scalarmente per il vettore $(P-P_o)$ ottengo il vettore $a(u_o,v_o)(x-x_o)+b(u_o,v_o)(y-y_o)+c(u_o,v_o)(z-z_o)=0$ che è diversa dall'equazione cartesiana del tipo che hai scritto sopra perche ha solo il termine $ax+by+cz$ e manca la $d$ ....
Sono totalmente fuori strada lo so
quindi illuminami 
1)Come mai l'equazione del piano tangente la otteniamo attraverso quel prodotto scalare ?
2)Supponendo che il vettore normale normale sia il vettore di componenti $(a,b,c)$ (come ho scritto sopra) moltiplicandolo scalarmente per il vettore $(P-P_o)$ ottengo il vettore $a(u_o,v_o)(x-x_o)+b(u_o,v_o)(y-y_o)+c(u_o,v_o)(z-z_o)=0$ che è diversa dall'equazione cartesiana del tipo che hai scritto sopra perche ha solo il termine $ax+by+cz$ e manca la $d$ ....
Sono totalmente fuori strada lo so
quindi illuminami
Dato che questo argomento è abbastanza ostile e se nn sbatto la testa sulle cose non le capisco allora ti dico come è spiegato sul libro l'argomento :
Sia $f$ una superficie regolare parametrizzata da $D⊆R^2→R^3$
fissiamo $(u_o,v_o)$ nell'interiore di $D$ e sia $r(t)=(u(t),v(t))$ una curva regolare passante per $(u_o,v_o)$ cioè tale che esiste $t_o$ tale che $(uo,vo)$=$r(t_o)$
Tramite la trasformazione $f$ avremo una curva immagine che passa per questo punto;se provo che questa curva immagine giace su questo piano allora quello ha tutta la dignità di essere piano tangente
Sia $P_o=f(u_o,v_o)$
allora $r'(t)=f(r(t))$ con $t∈[a,b]$
=$(f_1(r(t)),f_2(r(t)),f_3(r(t))$
è una curva regolare passante per $P_o$
Dobbiamo far vedere che le derivate esistono e sono continue e non si annullano mai contemporaneamente
$r'(t)=(∇f_1(r(t))⋅r'(t),∇f_2(r(t))⋅r'(t),∇f_3(r(t))⋅r'(t))=$
=$f_u(r(t))u'(t)+f_v(r(t))v'(t)$
Quello che non riesco a capire è perchè l'immagine della curva passa proprio per il punto $P_o$ cioè ha fatto l'immagine di tutta la curva e quindi anche del punto perciò ottiene una curva che passa per il punto ?e poi perchè bisogna passare tramite la funzione $f$ da una superficie piana a una tridimensionale ?Non riesco a capire come passi attraverso i passaggi da una una superficie bidimensionale a una tridimensionale, secondo me poichè non ho ben capito se cambiano le lettere non ci capisco più
Cioè nella tua dimostrazione queste cose non ho capito:
Quando parli dell'insieme $A$ non dovrebbe stare nel piano $uv$ ?
$P_o$ non dovrebbe avere coordinate $(u_o,v_o)$?
inoltre $N$ non la dovremmo prenderla nel piano $xyz$ ?(e quindi non si dovrebbe scrivere come $N(f(u,v))$? invece anche il libro scrive come te ossia $N(u,v))$
Mi sa che non riesco a capire la tua dimostrazione perchè non ho ben capito l'argomento
Sia $f$ una superficie regolare parametrizzata da $D⊆R^2→R^3$
fissiamo $(u_o,v_o)$ nell'interiore di $D$ e sia $r(t)=(u(t),v(t))$ una curva regolare passante per $(u_o,v_o)$ cioè tale che esiste $t_o$ tale che $(uo,vo)$=$r(t_o)$
Tramite la trasformazione $f$ avremo una curva immagine che passa per questo punto;se provo che questa curva immagine giace su questo piano allora quello ha tutta la dignità di essere piano tangente
Sia $P_o=f(u_o,v_o)$
allora $r'(t)=f(r(t))$ con $t∈[a,b]$
=$(f_1(r(t)),f_2(r(t)),f_3(r(t))$
è una curva regolare passante per $P_o$
Dobbiamo far vedere che le derivate esistono e sono continue e non si annullano mai contemporaneamente
$r'(t)=(∇f_1(r(t))⋅r'(t),∇f_2(r(t))⋅r'(t),∇f_3(r(t))⋅r'(t))=$
=$f_u(r(t))u'(t)+f_v(r(t))v'(t)$
Quello che non riesco a capire è perchè l'immagine della curva passa proprio per il punto $P_o$ cioè ha fatto l'immagine di tutta la curva e quindi anche del punto perciò ottiene una curva che passa per il punto ?e poi perchè bisogna passare tramite la funzione $f$ da una superficie piana a una tridimensionale ?Non riesco a capire come passi attraverso i passaggi da una una superficie bidimensionale a una tridimensionale, secondo me poichè non ho ben capito se cambiano le lettere non ci capisco più
Cioè nella tua dimostrazione queste cose non ho capito:
Quando parli dell'insieme $A$ non dovrebbe stare nel piano $uv$ ?
$P_o$ non dovrebbe avere coordinate $(u_o,v_o)$?
inoltre $N$ non la dovremmo prenderla nel piano $xyz$ ?(e quindi non si dovrebbe scrivere come $N(f(u,v))$? invece anche il libro scrive come te ossia $N(u,v))$
Mi sa che non riesco a capire la tua dimostrazione perchè non ho ben capito l'argomento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo