Piano tangente a un punto ( con l'uso del gradiente)
Salve! Ho un problema che recita: sia $ f(x,y)= e^(x+2y) + x^2 $. Trova il piano tangente nel punto $ bar(x) = (1, 0, e+1) $
Mi rendo conto che è un problema semplice, di quelli per far imparare la "formuletta" per trovare il piano tangente, usando il gradiente, ma ho un paio di perplessità 1) mi ha destabilizzato il fatto che il punto abbia tre coordinate, mentre la funzione sia solo in x,y. In secondo luogo, vi posto tutti i calcoli e il risultato che non ho la minima idea se sia corretto o meno. Purtroppo lui non ci ha fatto nemmeno un esempio su questa cosa ed è contrario a dare libri su cui studiare, quindi sto navigando un po' nel buio, se poteste dirmi se ho fatto bene tutti i calcoli e il ragionamento ve ne sarei grata. Grazie mille!
io so che la formula per trovare il piano tangente è \( P(x,y) = f(\bar{x} ) + < \bigtriangledown f(\bar{x} ) , x- \bar{x} > \)
quindi io ho prima fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) = $ e^(x+2y) + 2x $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) $ (bar(x)) = e $
poi ho fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) = $ 2e^(x+2y) $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) $ (bar(x)) = 2e $
Se qualcuno può darmi delucidazioni, gli sarei davvero grata! Grazie mille a tutti e buona serata
quindi \( \bigtriangledown f(\bar{x} ) = (e,2e) \)
mi sono fatta il prodotto scalare ( anche su questo ho dei dubbi, non so perché si fa con $ (x- bar(x)) $)
\( < \bigtriangledown f(\bar{x} ) \) , $ (x- bar(x)) > $ = $ ( ex-e+2ex) = e(x-1+2x) $
quindi tutto il piano mi verrebbe $ P(x,y) = e+1+ e(x-1+2x) $
Mi rendo conto che è un problema semplice, di quelli per far imparare la "formuletta" per trovare il piano tangente, usando il gradiente, ma ho un paio di perplessità 1) mi ha destabilizzato il fatto che il punto abbia tre coordinate, mentre la funzione sia solo in x,y. In secondo luogo, vi posto tutti i calcoli e il risultato che non ho la minima idea se sia corretto o meno. Purtroppo lui non ci ha fatto nemmeno un esempio su questa cosa ed è contrario a dare libri su cui studiare, quindi sto navigando un po' nel buio, se poteste dirmi se ho fatto bene tutti i calcoli e il ragionamento ve ne sarei grata. Grazie mille!
io so che la formula per trovare il piano tangente è \( P(x,y) = f(\bar{x} ) + < \bigtriangledown f(\bar{x} ) , x- \bar{x} > \)
quindi io ho prima fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) = $ e^(x+2y) + 2x $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial x} \) $ (bar(x)) = e $
poi ho fatto la \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) = $ 2e^(x+2y) $ poi me la calcolo nel punto e viene \( \frac{\partial^{}f}{\partial y} \) $ (bar(x)) = 2e $
Se qualcuno può darmi delucidazioni, gli sarei davvero grata! Grazie mille a tutti e buona serata
quindi \( \bigtriangledown f(\bar{x} ) = (e,2e) \)
mi sono fatta il prodotto scalare ( anche su questo ho dei dubbi, non so perché si fa con $ (x- bar(x)) $)
\( < \bigtriangledown f(\bar{x} ) \) , $ (x- bar(x)) > $ = $ ( ex-e+2ex) = e(x-1+2x) $
quindi tutto il piano mi verrebbe $ P(x,y) = e+1+ e(x-1+2x) $
Risposte
Il punto è il punto del grafico $(x,y,f(x,y)) in f$ o meglio in questo caso il punto $(1,0,f(1,0))in f$
Quindi devi solo calcolare
$pi(x,y)=f(1,0)+ << nablaf(1,0), (x-1,y)>>$
Quindi devi solo calcolare
$pi(x,y)=f(1,0)+ << nablaf(1,0), (x-1,y)>>$
[hide="Contributo non significativo ai fini della discussione"][ot]Eh si, il prof adesso deve dire quali libri usare e quali capitoli studiare, magari anche dare i compitini per casa[/ot][/hide]
@vulpla
[ot]i tuoi commenti mi rendono migliori le giornate[/ot]
[ot]i tuoi commenti mi rendono migliori le giornate[/ot]
"Vulplasir":[/hide]
[hide="."][ot]Eh si, il prof adesso deve dire quali libri usare e quali capitoli studiare, magari anche dare i compitini per casa[/ot]
Caro Vulpasir, 1) non mi piace per nulla il tono che hai utilizzato, io ho espresso una mia opinione, libero di non condividerla ma senza usare i vezzeggiativi da persona saccente.
2) Sì, io credo che sia mio diritto avere del materiale su cui studiare, visto che siamo 100 persone in un aula minuscola e spesso mi possono sfuggire cose durante la lezione, visto che lui alcuni argomenti li tratta in maniera superficiale, senza portare esempi e visto che io mi faccio tutti i giorni un viaggio di un'ora e 45 andata e un'ora e 45 il ritorno per andare in facoltà e capitano le giornate in cui, complice la stanchezza, non sono molto reattiva nel prendere appunti.
3) Sono molto utili dispense su cui esercitarsi, e spesso cercare esercizi su internet non è produttivo, perché si usano notazioni differenti, perché se ne trovano pochi, perché non è detto che io disponga di un accesso al web.
Detto questo, fine della questione perché si va OT e sinceramente non ho interesse nel prolungare una discussione inutile e vuota.
"anto_zoolander":
Il punto è il punto del grafico $(x,y,f(x,y)) in f$ o meglio in questo caso il punto $(1,0,f(1,0))in f$
Quindi devi solo calcolare
$pi(x,y)=f(1,0)+ << nablaf(1,0), (x-1,y)>>$
Ma vale per tutti gli esercizi di questo tipo? Domani a mente fresca lo rivedo! Ti ringrazio molto per la tua risposta
Buona notte
"diciamo di si"
ti dico diciamo perchè le applicazioni $f:UsubseteqRR^n->RR$ con $U$ aperto e $f$ derivabile parzialmente(quindi ammette gradiente) sono un caso particolare di un caso particolare di un caso particolare(che si potrebbe estendere ancora) in cui tutto questo vale sempre per i seguenti motivi.
1 - $RR^n$ su se stesso è uno spazio affine che chiameremo $E^n(RR)$
2 - $E^(n)(RR)$ dotato del prodotto scalare standard è uno spazio euclideo
3 - la base canonica di $RR^n$ è una base ortonormale per il prodotto scalare standard
queste cose ti permettono di avere due importanti proprietà:
- ha senso definire(vedi sotto per il motivo) il vettore gradiente come sicuramente ti sarà stato definito(vettore con entrate le derivate parziali)
- il differenziale di $f$ in un punto $x_0$ del dominio in un vettore $h$ coincide con il prodotto scalare definito nello spazio tra il vettore gradiente $nablaf$ e il vettore $h$
di fatto la scrittura principale è quella secondo cui $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste una applicazione lineare $L:RR^n->RR$ tale che $f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(||h||)$ e facendo il topino da laboratorio si arriva a mostrare che nelle ipotesi 1,2,3 quella scrittura coincide[nota]in genere vale considerando l'insieme degli $h in RR^n$ tale che $x_0+h in U$ ovvero l'insieme dei vettori con cui puoi traslare un punto. E' chiaro che essendo $U$ aperto potrai muovere almeno all'interno di un intorno e quindi non ci sono problemi nel considerare $h$[/nota] con $f(x_0+h)=f(x_0)+nablaf(x_0)*h+o(||h||)$
questa scrittura può poi essere modificata in quella più 'celebre' ponendo $h=x-x_0$ e facendo dovute considerazioni si arriva a
quindi sì, sotto quelle tre ipotesi che sono praticamente verificate nel 99,9% dei casi visto che è difficile che ti dicano di calcolare differenziali su riferimenti strani, il gioco è sempre lo stesso e puoi ripeterlo così:
- vedi se $f$ è differenziabile in un punto(controlli la continuità delle parziali in un punto)
- costruisci il gradiente in quel punto
- scrivi $pi(x)=f(x_0)+nablaf(x_0)*(x-x_0)$
fine. Nel caso di due variabili sarà $pi(x,y)=f(x_0,y_0)+nablaf(x_0,y_0)*(x-x_0,y-y_0)$
ossia $pi(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)$
ti dico diciamo perchè le applicazioni $f:UsubseteqRR^n->RR$ con $U$ aperto e $f$ derivabile parzialmente(quindi ammette gradiente) sono un caso particolare di un caso particolare di un caso particolare(che si potrebbe estendere ancora) in cui tutto questo vale sempre per i seguenti motivi.
1 - $RR^n$ su se stesso è uno spazio affine che chiameremo $E^n(RR)$
2 - $E^(n)(RR)$ dotato del prodotto scalare standard è uno spazio euclideo
3 - la base canonica di $RR^n$ è una base ortonormale per il prodotto scalare standard
queste cose ti permettono di avere due importanti proprietà:
- ha senso definire(vedi sotto per il motivo) il vettore gradiente come sicuramente ti sarà stato definito(vettore con entrate le derivate parziali)
- il differenziale di $f$ in un punto $x_0$ del dominio in un vettore $h$ coincide con il prodotto scalare definito nello spazio tra il vettore gradiente $nablaf$ e il vettore $h$
di fatto la scrittura principale è quella secondo cui $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste una applicazione lineare $L:RR^n->RR$ tale che $f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(||h||)$ e facendo il topino da laboratorio si arriva a mostrare che nelle ipotesi 1,2,3 quella scrittura coincide[nota]in genere vale considerando l'insieme degli $h in RR^n$ tale che $x_0+h in U$ ovvero l'insieme dei vettori con cui puoi traslare un punto. E' chiaro che essendo $U$ aperto potrai muovere almeno all'interno di un intorno e quindi non ci sono problemi nel considerare $h$[/nota] con $f(x_0+h)=f(x_0)+nablaf(x_0)*h+o(||h||)$
questa scrittura può poi essere modificata in quella più 'celebre' ponendo $h=x-x_0$ e facendo dovute considerazioni si arriva a
$f(x)=f(x_0)+nablaf(x_0)*(x-x_0)+o(||x-x_0||)$
quindi sì, sotto quelle tre ipotesi che sono praticamente verificate nel 99,9% dei casi visto che è difficile che ti dicano di calcolare differenziali su riferimenti strani, il gioco è sempre lo stesso e puoi ripeterlo così:
- vedi se $f$ è differenziabile in un punto(controlli la continuità delle parziali in un punto)
- costruisci il gradiente in quel punto
- scrivi $pi(x)=f(x_0)+nablaf(x_0)*(x-x_0)$
fine. Nel caso di due variabili sarà $pi(x,y)=f(x_0,y_0)+nablaf(x_0,y_0)*(x-x_0,y-y_0)$
ossia $pi(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)$
Perfetto! t ringrazio!! ( ovviamente con \( \bigtriangledown f(\bar{x)} \cdot (x-\bar{x}) \) intendi il prodotto scalare fra i due, giusto?
si, che in questo caso sai quello standard!
[xdom="gugo82"]@anto_zoolander & Leira: Lasciate perdere gli utenti che non danno alcun contributo costruttivo alle discussioni, per favore.
Limitatevi a segnalarne i post molesti a noi moderatori: ci pensiamo noi a regolare queste questioni.
Grazie[/xdom].
Limitatevi a segnalarne i post molesti a noi moderatori: ci pensiamo noi a regolare queste questioni.
Grazie[/xdom].
[hide="."]La mia risposta è la più costruttiva...m'immagino che c'avrà capito dalla risposta di anto_...[/hide]
[xdom="gugo82"]Ragazzino, finiscila.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Ragazzino, finiscila.[/xdom]
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