Piano tangente a f che contiene una retta
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio di geometria che fa parte dell'esame di Analisi 2.
L'esercizio dice:
Sia $f(x,y) = x^2 - y^2 $. Determinare, se esistono, tutti i piani tangenti al grafico di $f$ che contengono la retta di equazioni $x=2y=3z$.
Io ho provato a procedere prendendo il fascio di piani $z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0)$ , quindi ho ricavato $a, b, c$ e $d$ del piano in funzione di $x0, y0$.
A questo punto, a rigor di logica, la retta è compresa nel piano se i vettori direttori sono ortogonali e se hanno almeno un punto in comune, giusto?
Seguendo questo ragionamento ho imposto che il prodotto scalare dei due vettori fosse $0$
In questo modo, sempre che io non mi sia inventata qualche passaggio, ricavo $x0$ e $y0$.
Il mio dubbio nasce ora. Infatti, sostituendo $x0$ e $y0$ nel fascio di piani iniziale, non trovo tutti i possibili piani tangenti a $f$ che contengono la retta, ma ne trovo uno solo. Questo (penso) perché anche $d$ del piano dipende unicamente da $x0$ e $y0$.
Dove sbaglio?
Spero che si capisca qualcosa della spiegazione.
Grazie mille!
Ho un problema con un esercizio di geometria che fa parte dell'esame di Analisi 2.
L'esercizio dice:
Sia $f(x,y) = x^2 - y^2 $. Determinare, se esistono, tutti i piani tangenti al grafico di $f$ che contengono la retta di equazioni $x=2y=3z$.
Io ho provato a procedere prendendo il fascio di piani $z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)*(x-x0)+fy(x0,y0)*(y-y0)$ , quindi ho ricavato $a, b, c$ e $d$ del piano in funzione di $x0, y0$.
A questo punto, a rigor di logica, la retta è compresa nel piano se i vettori direttori sono ortogonali e se hanno almeno un punto in comune, giusto?
Seguendo questo ragionamento ho imposto che il prodotto scalare dei due vettori fosse $0$
In questo modo, sempre che io non mi sia inventata qualche passaggio, ricavo $x0$ e $y0$.
Il mio dubbio nasce ora. Infatti, sostituendo $x0$ e $y0$ nel fascio di piani iniziale, non trovo tutti i possibili piani tangenti a $f$ che contengono la retta, ma ne trovo uno solo. Questo (penso) perché anche $d$ del piano dipende unicamente da $x0$ e $y0$.
Dove sbaglio?
Spero che si capisca qualcosa della spiegazione.
Grazie mille!
Risposte
Non sono affatto sicura di saper procedere, ma ci ho provato!
Dati tutti i piani tangenti a $f$ di equazione $(-2x0)x+(2y0)y+(1)z+(x0^2-y0^2)=0$
ed il fascio di piani di sostegno $r$ \[ (\lambda)\,x + (2\,\mu - 2\,\lambda)\,y + (-3\,\mu)\,z + (0) = 0 \; \; \; \text{per} \; (\lambda,\,\mu) \ne (0,\,0) \,. \]
ho messo a sistema $a, b, c$ e $d$ delle due funzioni
Quindi (a sistema)
$\lambda = -2x $
$2\mu - 2\lambda = 2y0$
$-3\mu=1$
$0=x0^2-y0^2$
Per $x0=y0$ ottengo
$\mu= -1/3$ , $\lambda= -2/3$ , $x0=y0= 1/3$
Quindi il piano sarà $-2/3x + 2/3y + z = 0 $
Invece per $x0= -y0$ ottengo
$\mu= -1/3$ , $\lambda= -2/9$ , $x0=1/9$ , $y0=-1/9$
E il piano $-2/9x - 2/9y + z = 0 $
Dati tutti i piani tangenti a $f$ di equazione $(-2x0)x+(2y0)y+(1)z+(x0^2-y0^2)=0$
ed il fascio di piani di sostegno $r$ \[ (\lambda)\,x + (2\,\mu - 2\,\lambda)\,y + (-3\,\mu)\,z + (0) = 0 \; \; \; \text{per} \; (\lambda,\,\mu) \ne (0,\,0) \,. \]
ho messo a sistema $a, b, c$ e $d$ delle due funzioni
Quindi (a sistema)
$\lambda = -2x $
$2\mu - 2\lambda = 2y0$
$-3\mu=1$
$0=x0^2-y0^2$
Per $x0=y0$ ottengo
$\mu= -1/3$ , $\lambda= -2/3$ , $x0=y0= 1/3$
Quindi il piano sarà $-2/3x + 2/3y + z = 0 $
Invece per $x0= -y0$ ottengo
$\mu= -1/3$ , $\lambda= -2/9$ , $x0=1/9$ , $y0=-1/9$
E il piano $-2/9x - 2/9y + z = 0 $
Ottimo, grazie mille!
Un'ultima domanda: se invece devo trovare il piano tangente al grafico, ma ortogonale alla retta, imposto direttamente un fascio di piani ortogonali alla retta di partenza?
Un'ultima domanda: se invece devo trovare il piano tangente al grafico, ma ortogonale alla retta, imposto direttamente un fascio di piani ortogonali alla retta di partenza?
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