Perturbazione compatta dell'identità implica Fredholm?

[wattia1]

Ciao a tutti, è da tempo che non riesco a risolvere questo problema.
Ho un operatore del tipo [tex]I - \lambda K[/tex], dove [tex]K[/tex] è un operatore compatto da uno spazo di Banach in sè stesso e vorrei provare che fosse un operatore di Fredholm, possibilmente di indice zero, ma non riesco a trovare un modo per farlo.
Qualcuno può darmi un aiuto?

Grazie

[Rigel1]

Ma non è una conseguenza diretta dell'alternativa di Fredholm?
Detto $A = I - K$ il tuo operatore, hai che $N(A)$ ha dim. finita, $R(A)$ è chiuso e di codimensione finita, \( R(A) = N(I-K^*)^{\perp}\), da cui \( \text{codim} R(A) = \text{dim} N(I-K^*) = \text{dim} N(I-K) \) e infine
\[ \text{ind}(A) = \text{dim} N(A) - \text{codim} R(A) = 0. \]

[wattia1]

Il ragionamento funziona, potresti mica però spiegarmi un paio di passaggi che non mi sono chiari?
Precisamente, come fai a dire che [tex]R(A)[/tex] è di codimensione finita e che [tex]dim N(I−K^*) = dim N(I−K)[/tex]?
Grazie mille!

[Rigel1]

"wattia":Il ragionamento funziona, potresti mica però spiegarmi un paio di passaggi che non mi sono chiari?
Precisamente, come fai a dire che [tex]R(A)[/tex] è di codimensione finita e che [tex]dim N(I−K^*) = dim N(I−K)[/tex]?
Grazie mille!

Fa parte della tesi "standard" dell'alternativa di Fredholm.
Vedi ad es. il Brezis, Thm. 6.6.

[wattia1]

Trovato, grazie mille, bisogna sempre rivolgersi al Brezis!!