Perplessità su un limite..

[jestripa-votailprof]

ciao!
questo è limite:
$lim_(x to +oo) (x+log(1+x)+senx)/(x+cosx-1)=1$
questo risultato nn mi torna....però è quello esatto!secondo me è $-oo$

$log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$

$senx=1-x^3/6+0(x^3)$

$cosx=1-x^2/2+o(x^2)$

allora:

$lim_(x to +oo) (x/x+log(1+x)/x+(senx)/x)/(x/x+cosx/x-1/x)=1$

così facendo si trascurano alcuni termini....perchè?
aiutatemi!

[Camillo]

Gli sviluppi che hai scritto sono validi per $ x rarr 0 $ e non $x rarr oo$ .

[amel3]

De l'Hopital non è sufficiente?

[jestripa-votailprof]

hai ragione!!!!!!!!!!!!!!!!!!
sono sviluppi di mc lauren!
grazie!
ma ora che mi hai fatto notare questa cosa ti chiederei come svolgeresti il limite.....

[jestripa-votailprof]

applicando de l'Hopital 2 volte mi viene:
$lim(x to +oo) (-senx-x)/(-cosx)$ che nn so nemmeno quanto fa!

[amel3]

Mi correggo: forse è bene evitare qui il ricorso a De l'Hopital.
Ora arrivo con una solution

[fu^2]

basta osservare che per x->+oo log(x+1) e senx son un o(x) mentre al denominatore cosx-1 son o(x)

quindi il limite si riduce a $lim_(xto+oo)(x+o(x))/(x+o(x))=1

[amel3]

Provo a darti una soluzione, ma prima un suggerimento.
$log(1+x)=log(x \ (1+1/x))$

$lim_(x to +oo) (x+log(1+x)+senx)/(x+cosx-1)=lim_(x to +oo) (x(1+ (log x)/x+ (log(1+1/x))/x + (sen x)/x))/(x(1+ (cosx)/x - 1/x))=lim_(x to +oo) (1+ (log x)/x+ (log(1+1/x))/x + (sen x)/x)/(1+ (cosx)/x - 1/x)=1$

Spero sia giusto...

[fu^2]

"amel":Mi correggo: forse è bene evitare qui il ricorso a De l'Hopital.
Ora arrivo con una solution

è sempre bene evitare de l'hopital!
devo iniziare una propaganda contro questo teorema

[amel3]

Va bene guarda hai ragione, non ho voglia di polemiche anche su questo...

[fu^2]

"amel":Va bene guarda hai ragione, non ho voglia di polemiche anche su questo...

ahah dai lo dico in tono scherzoso, mica bisogna discutere anche su questo...
te dimmi si ok va bene... asseconda questi deliri e tutto andrà bene

[amel3]

No, sai com'è mi è già capitato mi pare in questo forum e non mi ricordo in quale occasione sentir parlar male del teorema di De l'Hopital-Bernoulli, per cui non vorrei che si finisca come qui
https://www.matematicamente.it/forum/0-i ... 24533.html
(P.S.: Non serve che dica che sto scherzando, eh? )

[jestripa-votailprof]

ciao fu^2 !!!!
mi spieghi perchè log(1+x) e senx sono degli o(x)?????
nn ci capisco molto....

[jestripa-votailprof]

io uso gli o piccoli con gli sviluppi di mc laurin in maniera completa qui mi hanno fatto notare che nn possono essere applicati perchè il limite nn tende a zero....sicuramente la mia ignoranza sul discorso incide molto,si potranno usare anche in un'altra maniera come mi stai facendo notare,saresti gentile nel spiegarmi come li posso usare?il mio prof è fissato con questo metodo rislutivo e mi rendo conto che capendoli una volta x tutte le cose si semplificano molto!grazie!!!!!

[jestripa-votailprof]

ciao amel!
il tuo suggerimento nn è male....ma c'è un ma:il log di +oo quanto fa?teoricamente zero perchè altrimenti nn uscirebbe 1

[amel3]

Veramente $(logx)/x ->0$ per $x->+oo$

P.s.: Rispondevo a jestripa ovviamente

[amel3]

"Sergio":
Quello che ha fatto amel consiste proprio nel trovare un modo per dividere tutto per $x$.
$log(x) to +oo$ per $x to +oo$, ma $log(x)/x$ tende a $0$ perché $log(x)=o(x)$.

[jestripa-votailprof]

quindi è un limite notevole,giusto amel?
ciao sergio!vorresti dirmi che per l'o piccolo devo vedere quale funzione corre più velocemente a zero?

[amel3]

"jestripa":quindi è un limite notevole,giusto amel?

Permettimi la battuta, tutti i limiti sono notevoli...
Comunque, diciamo di sì.

[jestripa-votailprof]

ascolta sergio,forse ci sono quasi nel capire questo maledetto concetto!ho riletto con più attenzione il tuo msge ho qualche domanda:
1-il limite deve tendere sempre ad infinito affinchè f(x) sia un o(x)?
2-mi fai un esempio di una funzione che tende più velocemente di x a zero?e che quindi dimostra che essa nn è un o(x)?mi serve come controprova!

[jestripa-votailprof]

una volta che li risolvi sì!io per limite notevole intendo un limite elementare di quelli semplici semplici a cui uno cerca di ricondursi x la risoluzione di limiti più difficili!magari sbaglio!nn ti preoccupare nn mi offendo mica!puoi scherzare tranquillamnte!